第2讲三角恒等变换与解三角形[A组夯基保分专练]一、选择题1．已知sin(α＋)＝，<α<，则cos2α的值为()A．－B．－C．－D．－解析：选C.因为sin(α＋)＝，<α<，<α＋<π，所以cos(α＋)<0，可得cos(α＋)＝－，所以sinα＝sin[(α＋)－]＝sin(α＋)cos－cos(α＋)sin＝，cos2α＝1－2sin2α＝1－＝－，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝()A．6B．5C．4D．3解析：选A.由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cosA＝＝＝－，得＝6.故选A.3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB为()A．B．C．D．解析：选A.由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a，因为cosB＝＝＝，所以sinB＝＝.4．(一题多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于()A．1B．C．D．2解析：选A.法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1，故选A.法二：因为tan∠BAC＝－3，所以cos∠BAC＝－<0，则∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，故选A.5.如图，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cosA等于()A．B．C．D．解析：选C.依题意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，＝，＝×＝，即＝，由此解得cosA＝.6．(多选)下列命题中，正确的是()A．在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB．在锐角三角形ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA－bcosB＝0，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形解析：选ABD.对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sinA>sin＝cosB，故B正确；对于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得sin2A＝sin2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD.二、填空题7．(2019·济南联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________．解析：因为tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.tanα＝tan(α＋β－β)＝＝.答案：－18．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin2A＝sinC，则c的取值范围为________．解析：由＝，得＝，所以c＝8cosA，因为16＝b2＋c2－2bccosA，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因为b∈(4，6)，所以32
