第2讲集合、不等式、常用逻辑用语一、选择题1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝()A．(∞－，1)B．(－2，1)C．(－3，－1)D．(3，∞＋)解析：选A.A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故选A.2．“命题∀x>0，lnx≥1”－的否定是()A．∃x0≤0，lnx0≥1－B．∃x0≤0，lnx0<1－C．∃x0>0，lnx0≥1－D．∃x0>0，lnx0<1－解析：选D.若命题为∀x∈M，p(x)，则其否定为∃x0∈M，綈p(x0)“．所以∀x>0，lnx≥1”－的否定是∃x0>0，lnx0<1－，故选D.3.(2019·沈阳市质量监测(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为()A．{3}B．{7}C．{3，7}D．{1，3，5}解析：选B.由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，∁U(A∪B)＝{7}，故选B.4．(2019·广西钦州期末)已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则ab的最大值是()A．15B．12C．5D．3解析：选C.因为a2＋b2＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，当且仅当a＝b＝±时等号成立．所以ab的最大值为5.故选C.5．已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是()A．a2＜－abB．|a|＜|b|C．＞D．＞解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a＞0＞b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，＜，所以A，B，D不一定成立．因为a＞0＞b，所以b－a＜0，ab＜0，所以－＝＞0，所以＞一定成立，故选C.优解：因为a＞0＞b，所以＞0＞，所以＞一定成立，故选C.6．(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，“则b＝0”“是f(x)为”偶函数的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，所以对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，所以2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．“所以b＝0”“是f(x)”为偶函数的充分必要条件．故选C.7．下列命题错误的是()A“．a>1”“是<1”的充分不必要条件B．“命题∃x0∈(0，∞＋)，lnx0＝x0－1”“的否定是∀x∈(0，∞＋)，lnx≠x－1”C．设x，y∈R，“则x≥2且y≥2”“是x2＋y2≥4”的必要不充分条件D．设a，b∈R，“则a≠0”“是ab≠0”的必要不充分条件解析：选C.若<1，则a>1或a<0，“则a>1”“是<1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，“得∃x0∈(0，∞＋)，lnx0＝x0－1”“的否定是∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，“因此x≥2且y≥2”“是x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；“因为ab＝0”“是a＝0”的必要不充分条件，“所以a≠0”“是ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．8．(一题多解)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，∞＋)上恒成立，则实数a的取值范围为()A．(0，∞＋)B．[－1，∞＋)C．[－1，1]D．[0，∞＋)解析：选B.法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，≤又－－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，∞＋)．法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，∞＋)时，f(x)≥0恒成立；当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，∞＋)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－1，∞＋)，故选B.9．(一题多解)设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是()A．(∞－，－1)∪(2，∞＋)B．(∞－，－)∪(，∞＋)C．(∞－，－)∪(2，∞＋)D．(∞－，－1)∪(，∞＋)解析：选C.法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x2－2)＞f(x)得，或解得x＞2或x＜－，所以x的取值范围是(∞－，－)∪(2，∞＋)，故选C.法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f((－1.1)2－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1....
