高三数学（文）立体几何·球知识精讲人教版一.本周教学内容：立体几何·球【典型例题】[例1]在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别是和，球心不在截面间，求球面面积。解：如图1，设球半径为R，由已知，，，则由，即，解得即球面面积为图1[例2]过半径为R的球面上一点作两两垂直的弦SA、SB、SC。（1）求证：为定值；（2）求三棱锥S—ABC的体积的最大值。图2解：（1）如图2，设SA、SB确定的平面截球面为球小圆 ∴AB为小圆直径，连结并延长交小圆于D，连结CD ，∴平面SAB又由SD平面SAB∴∴截面SCD为球大圆，即CD过球心O∴而故（2）三棱锥体积设为V，则故当且仅当时，三棱锥S—ABC取得最大值小结：（1）在解球的问题时，经常利用截面，把球的问题转化为圆的问题来处理。用心爱心专心116号编辑（2）解最值问题的一般方法是建立目标函数，利用代数方法求该函数的最值，本题用到了均值不等式。即若、、，则，当且仅当时等号成立。[例3]一等边圆锥（轴截面为正三角形）内接于一球，若圆锥底面半径为，求该球的体积和表面积。图3解：如图3，设圆锥的轴截面截球面为大圆O，S为圆锥的顶点，SC为轴，又设球半径为R，由～，则，即由，则，故由球的体积公式和表面积公式，得小结：把两个或两个以上的简单几何体组成在一起而形成的几何体叫结合体或组合体，它的构成一般有切接形式。若结合体只涉及有公共旋转轴的旋转体，一般利用轴截面转化为平面问题来处理。[例4]设地球上有A、B两点，它们各在北纬、的纬度圈上，且经度差为，求A、B两点间的球面距离。图4解：如图4，设A、B两点分别位于北纬、的纬度圈⊙和⊙上。利用异面直线上两点间距离公式，有用心爱心专心116号编辑在球大圆ABO中，设弦AB所对的圆心角为，则由余弦定理故[例5]如果正四棱柱的所有顶点都在一个半径为R的球面上，求这样的正四棱柱体积的最大值。图5解：如图5，取正四棱柱对角面所在平面，截得球大圆O，设正四棱柱底面正方形边长为，高为由，，有，即设正四棱柱的体积为V，则即体积的最大值为[例6]将两个棱长相等的正四面体和正八面体拼接起来，使其中一个面完全重合，求拼接所得的新的多面体的面数。图6解：如图6，ABCDEF为正八面体，BCEG为正四面体，取BE中点M，连结AC、GM、CM，则是二面角A—BE—C的平面角，是二面角G—BE—C的平面角。由正八面体和正四面体的性质易得，故与互补，即面ABE与面GBE共面同理可证面BCF与面BCG共面，面GEC与面DEC共面所以，拼接所得的新的多面体为七面体。[例7]已知铜的单晶结构是有24个顶点的多面体，组成各面的多边形有三角形和八边形两用心爱心专心116号编辑种，从每个顶点出发都有三条棱，求这个多面体中三角形和八边形的个数。解：设三角形有个，八边形有个，由欧拉公式，有又由两式联立，得，【模拟试题】（答题时间：45分钟）一.选择题1.半球内有一个内接的正方体，其下底面在半球的大圆上，则这个半球面的面积与正方体的表面积之比为（）A.B.C.D.2.设球内切于圆柱，则此圆柱全面积与球面积之比等于（）A.B.C.D.3.设地球半径为R，在北纬圈上有A、B两地，它们的经度差为，那么这两地间的纬度线长等于（）A.B.C.D.4.在北纬的纬度圈上，有甲、乙两地，两地间纬度圈上的弧长等于（R为地球半径），则这两地的球面距离是（）A.B.C.D.5.一个正方体内接于表面积为的球，则正方体的全面积是（）A.B.C.D.6.若四面体的一条棱长为，其余棱长都是1，则该四面体的体积取最大值时，的值为（）A.B.C.D.7.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D.8.棱长为的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A.B.C.D.二.填空题1.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，另一条侧棱到这个侧面的距离是，则这个三棱柱的体积是。2.A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点的球面距离为，A、B和A、C两点间的球面距离均为，则球心O到截面ABC的距离为。3.P、A、B、C是球O面上的四点，且PA、PB、PC的两两垂直，PA=PB=PC=9，则球心O到截面ABC的距离为。4.圆锥的轴截面是一边长为2的正三角形，则圆锥的内接正方体的棱长为。5.正八面体的对角线长为，则它的棱长为。...
