高三数学（文）立体几何·棱柱和棱锥人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：立体几何·棱柱和棱锥和南开区2006年高中质量调查文科试卷（一）二.知识结构：【典型例题】[例1]斜三棱柱的底面是等腰三角形ABC，AB=10，AC=10，BC=12，棱柱顶点A1到A、B、C三点等距离，侧棱长是13，求该三棱柱的侧面积。图1解：解法1：如图1，取BC的中点D，连结AD，则BC⊥AD作A1O⊥底面ABC于O，则由已知，点O在AD上，故即侧面为矩形，取AB中点E，连结OE、由，则由已知可求得则故即侧面积为396解法2：如图2，取BC中点D，连结AD、、、用心爱心专心作于E，连结BE、CE则AA1⊥平面BCE。故，即为棱柱的直截面故（的周长）侧棱长在等腰三角形中，，则故同理所以图2小结：斜棱柱的侧面积的计算可利用求各侧面的面积和，如解法1；也可利用求直截面的周长与侧棱之积，如解法2[例2]已知正四棱柱，底面边长为，点E在棱上，平面AEC，且平面AEC与底面ABCD所成的角为，求：三棱锥的体积。图3解：解法1：如图3所示，连结BD交AC于O则为面AEC与底面ABCD所成的二面角的平面角，即易得AC=BD=，，，故四边形为正方形连结交于P，交EO于Q由，，则故面，则为三棱锥的高用心爱心专心由DO=DQ，则又故解法2：连结，则三棱锥可以看成由三棱锥和三棱锥合成的，故而由E、O分别为正方形、DD1、BD的中点，则故小结：解法1：直接利用锥体体积公式求解，而解法2利用切割的方法，将所求三棱锥的体积分割成两个三棱锥体积之和。合理分割或拼补可以简化体积运算，这需要一定的空间想象能力和逻辑推理能力，应加强这方面的训练。[例3]已知某三棱锥的侧棱长均为，侧面三角形的顶角中有两个均为，另一个为，求该三棱锥的体积。图4解：如图4，设三棱锥中，，，PA=PB=PC=作AO⊥平面PBC于O，由则O在的平分线上故作于E，于F，连结AE、AF，则，，且AE=AF在中，，在中，在中，又则由，故所求三棱锥的体积为小结：本题若直接计算以为底面的三棱锥的体积，运算非常繁琐，但用心爱心专心利用体积变换转化求等体积的另一个三棱锥，问题就非常简单了。我们在有关体积的计算问题中，经常运用这种体积变换的思想方法。[例4]如图5，平行四边形ABCD中，，AD=，AB=，M、N分别是边CD、AB的中点，沿MN将面ADMN折起（1）当二面角为时，求三棱柱的侧面积和体积；（2）当二面角为多大时，这个三棱柱体积有最大值，并求出该最大值。图5解：（1）折叠前，连结BD，并设在中，，由余弦定理，有由，则，又由，故于点O折叠后，由，，则为二面角的平面角，即由，则连结BD，正三角形BOD为三棱柱的直截面，故（2）设，由直截面为，并且故三棱柱的体积为当，即时，三棱柱体积有最大值为小结：棱柱的侧面积可用直截面的周长与侧棱长乘积求得，棱柱的体积除用底面积与高乘积求得外，还可利用直截面面积与侧棱乘积求得，设棱柱高为，侧棱为，则体积公式为：或[例5]如图6，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，。（1）证明；（2）假定，，记面为，面CBD为，求二面角的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。用心爱心专心图6解：（1）连结、，设AC与BD相交于O，连结 四边形ABCD是菱形∴，又 ，∴∴ ∴但，∴平面∴平面∴（2）由（1）知，∴是二面角的平面角在中，，，∴ ∴∴∴，即作，垂足为H∴点H是OC的中点，是∴（3），能使平面证法1： ∴又 ∴∴三棱锥是正三棱锥设与相交于G ，且∴又是正的BD边上的高和中线∴点G是正的中心∴平面即平面证法2：由（1）知平面又由平面∴当时，平行六面体六个面全等同的证法，可得又由∴平面小结：本题为2000年高考试题，以多面体或旋转体为背景，综合考查空间线线、线面和面面的位置关系以及空间想象能力和逻辑推理能力，是高考试题中的常见题型。【模拟试题一】（答题时间：90分钟）一.选择题用心爱心专心1.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是（）A.棱柱有一条侧棱与底面垂直B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C.棱柱有一个侧面是矩形且它与底面垂直D.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直2.下述棱柱中为长方体的是（）A.直平行六面体B.对角面是全等矩形的四棱柱C.侧面都是矩形的直四棱柱D.底面是矩形的直棱柱3....
