高三数学高考第一轮复习——几何体、表面积、体积（文）人教实验A版（文）【本讲教育信息】一.教学内容：几何体、表面积、体积二.重点、难点：1.2.3.球【典型例题】[例1]正四面体ABCD，棱长均为，则高=，体积，侧棱与底面所成角余弦值为，侧面与底面所成角余弦值为，内切球半径，外接球半径，AB、CD的距离。解：E为BC中点，H为△BCD垂心∴∴解依次为：[例2]半径为1的球的内接正四棱柱的体积的最大值。解：设底面边长为，高为，∴∴时，用心爱心专心[例3]直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，E、F、G为AC、AA1、AB中点，求证：（1）B1C1//面EFG；（2）求异面直线FG与AC1所成角；（3）求三棱锥B1—EFG的体积。解：（1）面EFG（2）D为A1C1中点∴DF//AC1∴∠DFG为AC1与GF所成的角∴与GF所成角为90°（3）（B1，面EFG）（A，面GEF）∴（A，面GEF）=∴（B1，面GEF）=∴[例4]四棱锥P—ABCD棱长均为1，，并且面EAC//PB。（1）求二面角E—AD—C正弦值；（2）求CE与底面所成角的正弦值；（3）求AB、CE所成角；（4）求四面体EPBC的体积。解：面ABCD∴连EH∴E为PD中点用心爱心专心（1）E—AD—C二面角即P—AD—BC二面角的正弦值为（2）F为DH中点，连EF∴EF//PH∴EF⊥面ABCD∠ECF为所求（3）AB、CE所成角为∠ECD=30°（4）[例5]等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=20，高为，MN为上下底边的垂直平分线，沿MN折成120°二面角。（1）求AC、MN所成角的正切值；（2）求AE、MN距离；（3）求AC与面ADMN所成角的正弦值。解：（1）过C作CE⊥BN于E∴CE//MN∴∠ACE为所求NE=6AE=14CE=MN=，（2）过N作NF⊥AE于F，NF为MN、AE公垂线∴（3）于H∴CH⊥面ADMN∠CAH为所求CH=AC=16[例6]斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1，棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求四棱柱的体积。解：过A1作A1H⊥面ABCD于H ∠A1AB=∠A1ADH在∠A的平分线上用心爱心专心过H作HE⊥AB于EA1E⊥AB∴[例7]如图所示，已知平行六面体的底面ABCD是矩形，且侧面ABB1A1⊥底面ABCD，AB1=BB1，AN=3NB，M，E分别是B1C，AB的中点，F是EC的中点，AB=4，MN=，侧棱与底面ABCD成45°的角。（1）求证：MF⊥底面ABCD；（2）求二面角M—AB—C的大小；（3）求MN与平面B1CE所成角的大小。解析：（1）证明：底面ABCD，又M，F分别是B1C，EC的中点MF//B1EMF⊥底面ABCD（2）由（1）知∠B1BA就是侧棱与底面所成的角，即∠B1BA=45°B1E=2，又底面是矩形，及F，N分别是EC，EB的中点FN⊥AB，由三垂线定理MN⊥AB∴∠MNF就是二面角M—AB—C的平面角，在中，由，MN=sin∠MNF=45°（3） B1E⊥底面ABCD平面B1EC⊥底面ABCD，又由（2）知△NFE是等腰直角三角形，取EF中点H，连NH，MH，则NH⊥ECNH⊥平面B1EC∠NMH就是MN与平面B1EC所成的角，在中，由NH=[例8]如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°。用心爱心专心（1）求四棱锥P—ABCD的体积；（2）求证：PA⊥BD。解析：（1）如下图，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD。作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OE根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD所以∠PEO为侧面PAD与底面所成二面角的平面角由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6所以PO=，四棱锥P—ABCD的体积（2）证明：如图，连结AO，延长AO交BD于F，通过计算可得EO=3，AE=，又知AD=，AB=8得，所以∽，得∠EAO=∠ABD所以∠EAO+∠ADF=90°，所以AF⊥BD因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的射影，所以PA⊥BD。[例9]如图所示，AB是球O的直径，C，D是球面上两点，且点在以BC为直径的小圆上，设小圆所在的平面为。用心爱心专心（1）求证：平面ABC⊥；（2）设D为的中点，AD与平面所成的角为，过球的半径OD且垂直于平面的截面截BC弦于点E，求△OED与过OD的截面圆的面积之比。解析：（1）证明：取BC的中点O1，连OO1 O1是以BC为直径的圆的圆心，则OO1⊥BC，D为圆周上一点∴△OO1D≌△DO1B，即∠DO1B=∠OO1D∴OO1⊥DO1即OO1⊥底面BCD又 OO1面ABC∴面ABC⊥面BCD，即面ABC⊥（2）D为的中点，则DO1⊥BC，过OD且垂直于平面的截面截BC弦于E，E即是O1∴△OED≌△OEB AC//DE∴AC⊥面BCD，∠ADC=设BC=，则CD=，AC=CD∴[例10]三棱锥V—ABC中，VA⊥底面A...
