等比数列判定六法一、定义法根据等比数列的定义，判断1nnaa或1(1)nnana是一个与n无关的常数．例1如果na是等差数列，则数列nac（c为常数，且0c）一定是等比数列；如果na是等比数列，且0na，则数列logcna（c为常数，0c，且1c）一定是等差数列，你能证明吗？证明：若na为等差数列，则有1(1)naand，并且1nnaad（d为常数），11nnnnaaadacccc∴（常数），故数列nac为等比数列．同理，na为等比数列，且0na时，11nnaaq·，1nnaqa（常数），11loglogloglogncncnccnaaaqa∴，∴数列logcna是公差为logcq的等差数列．二、等比中项法对于各项均不为零的数列na，若对于任意大于1的正整数n都有211nnnaaa·，则可判定数列na为等比数列．例2已知()log()log()log0mmmbcxcayabz，其中abc，，依次成等差数列，且公差不为零，判断xyz，，是否成等比数列？解：设等差数列abc，，的公差为(0)dd，则bcd，2cad，abd，代入()log()log()log0mmmbcxcayabz，可得(log2loglog)0mmmdxyz．loglog2logmmmxzy∴，2xzy∴．又000xyz，，，故xyz，，成等比数列．三、通项公式法na为等比数列1(0)nnaAqAq．例3已知na是各项均为正数的等差数列，1lga，2lga，4lga成等差数列，又21nnba，123n，，，．判断nb是否为等比数列？解：124lglglgaaa，，∵成等差数列，用心爱心专心2142lglglgaaa∴，即2214aaa．又设等差数列na的公差为d，则2111()(3)adaad，即21dad．当0d时，na是一个各项均为正数的常数列，nb∴是等比数列；当0d时，10da，12(21)2nnnaadd，1211111222nnnnbadd··．故nb是首项为112bd，公比为12的等比数列．四、递推公式法例4根据如图所示的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式．问：这个数列是等比数列吗？分析：先求出前5项值，然后通过递推性质确定其通项公式．解：若将打印出来的数依次记为1a（即A），2a，3a，．由图可知，12111122aaa，，321124aa，431128aa，5411216aa．于是可得递推公式1111(1)2nnaaan，．由于11(1)2nnana，因此这个数列是等比数列，其通项公式是112nna．五、前n项和公式法在数列na中，前n项和为nS，若(01)nnSAqAAqq，且，则na为等比数列．例5已知数列na的前n项和为1nnSa（a是不为0的实数），则na（）Ａ．一定是等比数列Ｂ．一定是等差数列Ｃ．是等差数列或是等比数列Ｄ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解：当1a时，na的各项都为0，这个数列是等差数列，但不是等比数列；当1a时，由用心爱心专心1nnSa知，na是等比数列，但不是等差数列，故先Ｃ．六、反例法若判断一个数列不是等比数列，则反例法显得更简单．例6设na，nb是公比不相等的两个等比数列，nnncab，证明数列nc不是等比数列．解：设na，nb的公比分别为nnnpqpqcab，，，．为证nc不是等比数列只需证2213ccc·．事实上，2222222111111()2capbqapbqabpq，222222221311111111()()()ccabapbqapbqabpq·．由于pq，222pqpq，又11ab，不为零，因此2213ccc·，故nc不是等比数列．注意：有些试题常常需要由一个特别说明一个命题是错误的，但应当注意一个特例不能说明命题是正确的用心爱心专心
