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高三数学解题方法谈:灵活运用“反证法”VIP免费

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灵活运用“反证法”反证法是间接证明的一种基本方法,是解决某些疑难问题的有力工具.熟练掌握并运用反证法,对提高同学们的解题能力大有裨益.下面就反证法的要点、解题步骤及适用题型加以归纳整理,供同学们复习参考.一、反证法的基本内容1.步骤:①假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立(反设);②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾(归谬);③由矛盾判断假设不成立,从而肯定命题的结论成立(结论).其中推出矛盾主要有下列情形:①与已知条件矛盾;②与公理、定理、定义及性质矛盾;③与假设矛盾;④推出自相矛盾的结论.2.宜用反证法证明的题型:①易导出与已知矛盾的命题;②否定性命题;③惟一性命题;④至少至多型命题;⑤一些基本定理;⑥必然性命题等.二、反证法的应用1.易导出与已知矛盾的命题例1求证:两条平行线中一条与一个平面相交,那么另一条也与这个平面相交.已知:,平面,如图1所示.求证:直线和平面相交.证明:假设和平面不相交,即或.(1)若,因为,所以或,这与相矛盾.(2)如果,因为,所以和确定一个平面,显然平面与平面相交.设,因为,所以.又,从而且.故,这与矛盾.由(1)、(2)可知,假设不成立.故直线与平面相交.2.证明有关“惟一性”的命题例2已知与是异面直线,求证:过且平行于的平面只有一个.证明:如图2,假设过直线且平行于直线的平面有两个分别为和.在直线上取点,过和确定一个平面,且与分别交于过点的直线.由,知.同理.故,这与相交于点矛盾.故假设不成立.从而过且平行于的平面只有一个.3.证明“至多”或“至少”问题例3已知函数对其定义域内的任意两个实数,当时,都有.求证:至多有一个实数使得.证明:假设存在两个不等实数,用心爱心专心使得.(※)不妨设,由条件可得,与(※)式矛盾.故至多有一个实数使得.4.当证明反面结论比证明原结论更简单时,可考虑用反证法例4设函数的定义域是区间,,且对任意的,,均有,求证:对任意的,,均有.分析:若用直接法,需分类讨论,可考虑使用反证法.证明:若不然,则有,,使得.不妨设,则.所以.故由条件,可得.这与假设矛盾,故原命题成立.注:本题运用了配凑这一技巧,这种方法在解证不等式问题时很有用,希望同学们能够掌握.用心爱心专心

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