避繁就简话构图――谈数形结合的图形调控数形结合作为重要的数学思想，有着广泛的应用，但在具体运用时要善于进行理性思考即进行思维调整，以发挥出最好的功效．数形结合离不开构图，那么构图有哪些讲究呢？下面我们结合几个例子说明．一、调整关系例１对任意角，2sin2cos410mm恒成立，则m的取值范围是_____．解析：对此题通常是变sin为cos，整理成降幂排列式：2cos2cos40mm，于是一个二次不等式便显露出来了，便可建构曲线：令cosx，则222()24()(4)([11])fxxmxmxmmmx，，这就需要分对称轴xm在区间[11]，的左侧、内部、右侧三种情况构图求解．因为需要讨论三种情况，显然较繁．现在我们做如下调控：既然问题是求m的取值范围，使不等式2240xmxm在[11]，上恒成立，于是可将不等式变为22(2)xmx，这样可建构直曲相关的图形求解，比前一种方法简捷多了．设2yx，[11]x，，2(2)ymx，则后者为过定点(20)，的直线．如图1，欲使22(2)xmx在[11]，上恒成立，只须20m，即0m便可．二、调整直线例2当13a≤时，关于x的方程lg(1)lg(3)lg()xxax根的个数为_____．解析：原方程为2lg(43)lg()xxax，即243(13)xxaxx，若直接构图，问题即为讨论直线yxa与抛物线（弧）243yxx的关系．因为直线是倾斜的，当其与抛物线相切时得用判别式求a的值．接下来还得按a分类，确定方程根的个数．这种数形结合方式的运算，主要是在求当直线与曲线相切时a的值，须化成一元二次方程，用判别式解决，不算太简捷．如若调整思维，联想到方程243(13)xxaxx等价于253(13)xxax，于是有另一种构图方式．其简捷之处在于直线不是倾斜的而是平行于x轴．用心爱心专心∵2251353(13)24yxxxx，如图2，借助图形可知，当13a≤，或134a时，方程只有一解；当1334a时，方程有两解；当a≤或134a时，方程无解．故应填1．三、调整主元例3实数m满足2m，则使212xmxxm恒成立的x的取值范围为_____．解析：此题主元是x，参数是m，照惯例不等式变为：2(1)(1)xmx，再设2(1)yx，(1)ymx，构造直曲相关问题求参．此种方法解答起来比较麻烦．现在调整思维角度，视m为主元，则问题变为求x的取值范围，使原不等式在(22)，上恒成立．这就非常简捷了，因为曲线已转化为直线．即由原不等式，得2()(1)(1)0fmxmx，图象为一条直线（图略），则欲使当2m时()0fm恒成立，只须(2)0(2)0ff，，≥≥由此解得1x≤，或3x≥，此即所求范围．用心爱心专心
