高三数学解题方法谈：善于沟通的函数零点VIP免费

善于沟通的函数零点函数的零点是沟通函数、方程、图象的一个重要媒介，让我们看看它的沟通能力吧．一、沟通函数与图象例1若函数2()2fxxxa有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a的取值范围．分析：依题意，函数有两个不同零点，即图象和x轴有两个交点，如图1，我们只需利用函数有零点的条件，即可求出a的取值范围．解：作出函数的图象，如图1，易得(2)0(0)0(1)0(3)0ffff，，，，解得101a，因此a的取值范围是（－10，－1）．评注：有关二次函数零点分布问题，可仿此法求解，重点是找图象的特征，有时还需要结合对称轴．例2函数26xy和2logyx的图象的交点有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解析：在同一坐标系中，分别作出两函数的图象，如图2，在直线x=1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？若有，是1个还是2个（其他情况不可能）？通过图象很难断定，下面我们利用存在零点的条件()()0fafb来解决这个问题，两函数图象的交点的横坐标就是函数22()log6xfxx的零点，其中112(1)0(2)0(4)0633fff，，，所以在直线x=1右侧，函数有两个零点．一个在（1，2）内，一个在（2，4）内，故函数22()log6xfxx共有3个零点，即函数26xy和2logyx的图象有3个交点，故选（C）．评注：在例1中我们借助了函数图象的直观性很好地解决了问题，但通过例2我们发现，图象也有它的缺点，那就是很难细致入微，我们只好又返回函数来解决问题，这正如华罗庚先生所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好．二、沟通方程与图象例3若方程8xxb有两个不相等的实数根，求b的取值范围．解析：因为0x≥，所以，方程8xxb有两个不相等的实数解，就是函数8yxxb在［0，+∞）上有两个不同的零点，函数8yxxb可视为关于x的一元二次函数，令xt，可得2()8yftttb，作出它的图象，如图3，通过观察图象应有(0)0(4)0ff，，≥，解得016b≤，即b的取值范围是[016)，．三、沟通函数与方程例4设()fx和()gx的图象在［a，b］上是连续不断的，且()()()()fagafbgb，，证明：在（a，b）内存在一点0x，使00()()fxgx．分析：证明的问题可以转化为方程()()fxgx在（a，b）内有解，进而转化为函数()()()Fxfxgx在（a，b）内有零点．证明：令()()()Fxfxgx，∵()()()()fagafbgb，，∴()()()0()()()0FafagaFbfbgb，．∴函数Ｆ（x）=f（x）-g（x）在（a，b）内有零点．∴方程()()0fxgx在（a，b）内有解．即()()fxgx在（a，b）内有解．∴在（a，b）内存在一点0x，使00()()fxgx．