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高三数学解题方法谈:善于沟通的函数零点VIP免费

高三数学解题方法谈:善于沟通的函数零点_第1页
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高三数学解题方法谈:善于沟通的函数零点_第2页
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善于沟通的函数零点函数的零点是沟通函数、方程、图象的一个重要媒介,让我们看看它的沟通能力吧.一、沟通函数与图象例1若函数2()2fxxxa有两个零点,且一个在(-2,0)内,另一个在(1,3)内,求a的取值范围.分析:依题意,函数有两个不同零点,即图象和x轴有两个交点,如图1,我们只需利用函数有零点的条件,即可求出a的取值范围.解:作出函数的图象,如图1,易得(2)0(0)0(1)0(3)0ffff,,,,解得101a,因此a的取值范围是(-10,-1).评注:有关二次函数零点分布问题,可仿此法求解,重点是找图象的特征,有时还需要结合对称轴.例2函数26xy和2logyx的图象的交点有().(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:在同一坐标系中,分别作出两函数的图象,如图2,在直线x=1左侧的那个交点十分容易发现,在其右侧有无交点呢?若有,是1个还是2个(其他情况不可能)?通过图象很难断定,下面我们利用存在零点的条件()()0fafb来解决这个问题,两函数图象的交点的横坐标就是函数22()log6xfxx的零点,其中112(1)0(2)0(4)0633fff,,,所以在直线x=1右侧,函数有两个零点.一个在(1,2)内,一个在(2,4)内,故函数22()log6xfxx共有3个零点,即函数26xy和2logyx的图象有3个交点,故选(C).评注:在例1中我们借助了函数图象的直观性很好地解决了问题,但通过例2我们发现,图象也有它的缺点,那就是很难细致入微,我们只好又返回函数来解决问题,这正如华罗庚先生所说:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好.二、沟通方程与图象例3若方程8xxb有两个不相等的实数根,求b的取值范围.解析:因为0x≥,所以,方程8xxb有两个不相等的实数解,就是函数8yxxb在[0,+∞)上有两个不同的零点,函数8yxxb可视为关于x的一元二次函数,令xt,可得2()8yftttb,作出它的图象,如图3,通过观察图象应有(0)0(4)0ff,,≥,解得016b≤,即b的取值范围是[016),.三、沟通函数与方程例4设()fx和()gx的图象在[a,b]上是连续不断的,且()()()()fagafbgb,,证明:在(a,b)内存在一点0x,使00()()fxgx.分析:证明的问题可以转化为方程()()fxgx在(a,b)内有解,进而转化为函数()()()Fxfxgx在(a,b)内有零点.证明:令()()()Fxfxgx,∵()()()()fagafbgb,,∴()()()0()()()0FafagaFbfbgb,.∴函数F(x)=f(x)-g(x)在(a,b)内有零点.∴方程()()0fxgx在(a,b)内有解.即()()fxgx在(a,b)内有解.∴在(a,b)内存在一点0x,使00()()fxgx.

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