高三数学解题方法谈：“焦点”访谈VIP免费

“焦点”访谈焦点是确定圆锥曲线位置和形状的重要元素，与圆锥曲线的焦点相关的问题，考查力度不断增大，越来越多的焦点问题使其真正成为高考的“焦点”，“记者”围绕“焦点”问题作了如下访谈．话题一、焦点与定义回归定义是解答圆锥曲线问题的最基本的方法，特别是涉及求焦半径（圆锥曲线上的点到焦点的距离）的和或差，利用定义略加转化，大多能迎刃而解．例1已知(40)A，，(31)B，，P为双曲线22197xy左支上任一点，求PAPB的最小值．解：(40)A，是双曲线22197xy的右焦点，(40)F，为左焦点，由已知得6PAPF，则66526PAPBPFPBBF≥，∴PAPB的最小值为526．编导提示：2004年福建卷文科第12题正是以实际生活为背景的圆锥曲线定义的应用，2006年四川卷第15题将椭圆上动点到左焦点的距离加上到右焦点的距离，利用定义和对称性迅速求解．2003年上海春季高考理科第12题也特别典型．话题二、焦点与准线准线也是圆锥曲线的重要元素，圆锥曲线上的任意一点到焦点距离与到相应准线的距离之比都等于曲线的离心率（圆锥曲线的第二定义）．把焦半径利用离心率的倒数转化为到准线的距离，达到化曲（折）为直求最值的目的，已成为常考模式．例2已知定点(23)A，，F是椭圆2211612xy的右焦点，点M在椭圆上移动，求2AMMF的最小值及此时M点的坐标．解：由椭圆方程得其右准线:8lx，离心率12e，设M到l的距离为MH，则12MFMH，即2MHMF．于是210AMMFAMMHAH≥，当且仅当AMH，，三点共线时取等号．设00()Mxy，，则03y，代入椭圆方程，得023x（舍去负值），故M点的坐标为(233)，．用心爱心专心编导提示：这道全国高中数学联赛试题是椭圆中焦点与准线转化的典型题，2004年福建卷理科第12题（见所附《互动训练》第2题）则是双曲线中这种思想的代表，抓住离心率的倒数是使问题获解的关键．话题三、焦点与圆圆锥曲线与圆都是高考中二次曲线考查的重点，它们的综合体现在构造与焦点有关的辅助圆上．例3椭圆22194xy的焦点为1F、2F，P为其上的点，当12FPF为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_______．解析：以12FF为直径的圆为225xy，与椭圆方程联立消去y，解得355x，此时12FPF．如图1，当12FPF为钝角时，点P须位于椭圆的劣弧12pp或12pp上，此时它的横坐标的取值范围是353555x．编导提示：本题是2000年全国卷第14题，不直接求12FPF为钝角应具备的条件，先退到12FPF为直角，处理反而简单，解答客观题需要这种灵活！2005年浙江卷文科第19题、理科第17题（见所附《互动训练》第3题），均是焦点与圆交汇的范例（两道试题都需要了解平面几何中切割线定理）．关于焦点的话题还有很多，咱不能光说不练，还是适时笔谈《互动训练》吧．互动训练：1．给出问题：12FF，是双曲线2211620xy的焦点，P在双曲线上．若P到1F的距离为9，求P到2F的距离．某学生的解答：双曲线的实轴长为8，由128PFPF得21PF或17．该生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______．2．如图2，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向BC，两地转运货物．经测算，从M到B，从M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的用心爱心专心总费用最低是（）．（A）(272)a万元（B）5a万元（C）(271)a万元（D）(233)a万元3．如图3，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点1F，2F在x轴，长轴12AA的长为4，左准线l与x轴的交点为M，111:2:1MAAF，（1）求椭圆的方程；（2）（文）P为l上的动点，求12FPF最大值．（理）若直线1:(1)lxmm，P为1l上的动点，求使12FPF最大的点P（记作Q）的坐标（用m表示）．《互动训练》参考答案：1．217PF2．Ｂ3．（1）22143xy；（2）（文）15arctan15（理）2(1)Qmm，．用心爱心专心