高三数学等比数列；数列求和（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：等比数列；数列求和二.重点：（1）定义：（2）关键量：（3）通项：（4）前n项和：（5）若，则成等比数列成等比数列，成等差数列（6）任意同号实数，有等比中项（7）公式法求和（8）裂项法求和（9）错位相减求和【典型例题】[例1]数列，若数列成等比数列，求。解：，∴用心爱心专心∴∴或[例2]等比数列，，，求证解：*，*>0，*>0∴[例3]等差数列，等比数列，，，，求。解：∴ ∴∴∴∴∴或[例4]等比数列，中最大项是54，求解：（1）∴不合题意（2）∴∴中最大∴用心爱心专心∴∴[例5]等比数列，，前n项和，数列满足，，求使的n的最小值。解：首项，公比为即[例6]等比数列首项公比均为，，若，求的范围。解：对一切成立，即（1）最小值为∴（2）综上所述[例7]求和用心爱心专心（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2），∴（3）∴（4）用心爱心专心（5）（6）∴[例8]已知等差数列中，，公差，且分别是等比数列的第二项、第三项、第四项。（1）求数列的通项；（2）设数列对任意的，均有成立，求的值。解析：（1） 等差数列的分别是等比数列的第二、三、四项，且∴∴ 公比∴用心爱心专心故（2）当时，∴当时， ①∴②∴①－②得，即∴故[例9]设等比数列的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列的前多少项和最大？解法一：设公比为，项数为，依题意有化简得解得设数列前n项和为，则用心爱心专心可见，当时，最大而故的前5项和最大解法二：接前于是∴数列是以为首项，以为公差的等差数列令，得∴由于，可见数列的前5项和最大[例10]已知数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q的且的等比数列，若函数，且，，，（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，对一切，都有，求。解：（1） ∴ ∴又∴，由，且，得∴（2）令，则，用心爱心专心∴∴，即∴[例11]设为数列的前n项和，，数列的通项公式为；（1）求数列的通项公式；（2）把数列与的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列的通项公式为；（3）设数列的第n项是数列中的第r项，为数列的前r项的和；为数列的前n项和，，求。解：（1）由，可知∴，即，而得，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列的通项公式。（2） ∴，而数列∴，而数列∴（3）由，可知∴∴【模拟试题】1.已知成等比数列，则（）A.B.C.D.8用心爱心专心2.在等比数列中，，前n项和为。若数列也是等比数列，则等于（）A.B.C.D.3.一个直角三角形三边的长成等比数列，则（）A.三边边长之比为3：4：5B.三边边长之比为C.较小锐角的正弦值为D.较大锐角的正弦值为4.设数列的前n项和（为常数），若是等比数列，则有（）A.B.C.D.，且5.各项均为正数的等比数列，其前n项和为80，且其中最大项为54，又其前2n项和为6560，则公比q等于（）A.2B.3C.4D.56.设数列的前n项和，则数列是一个等比数列的充要条件是（）A.B.C.D.为任意非零常数7.各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则等于（）A.16B.26C.30D.808.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于（）A.33B.72C.84D.1899.一个等比数列的前n项和为S，前n项的倒数之和是T，则其前n项的积是（）A.B.C.D.10.如果数列满足是首项为1，公比为2的等比数列，那么（）A.B.C.D.11.设，则等于（）A.B.C.D.12.若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（）A.4B.2C.D.13.若是与的等比中项，则的最大值为（）用心爱心专心A.B.C.D.14.数列中，且满足，。（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）设，，是否存在最大的整数m，使得对任意均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。15.设数列的首项，前n项和满足关系式：（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，，求数列的通项；（3）求和：。用心爱心专心【试题答案】1.A2.C3.C4.D5.B6.C7.C8.C9.C10.B11.D12.D13.B14.解：（1）由可知成等差数列，∴（2）由可得，当，当时，，故（3）∴要使总成立，需成立即且，故适合条件的m的最大值为715...
