高三数学等差与等差数列系统讲解江苏省启东市教研室王信忠数列是高中代数的重点之一，也是高考的考查重点，数列是函数概念的继续和延伸，又是初等数学与高等数学衔接和联系最为密切的内容之一.是进一步学习高等数学的基础.数列的题目形态多变,蕴含丰富数学思想方法,数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一.同学们在学习数列时一定要注意以下几点：1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2.数列{an}前n项和Sn与通项an的关系式：an=求通项常用方法如累差叠加法．最基本形式是：an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1．求数列{an}前n项和Sn可用裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项．常见的裂项：3.等差数列的性质是数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.要注意之间的内在联系，注意相邻项，相邻若干项之间的内在联系及相互转化．求公差、公比、首项、项数时的基本量思想，方程思想，巧用设而不求的方法进行整体代换的思想，从特殊到一般探索推广结论的创新意识．.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.4.“巧用性质、减少运算量”在等差数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.例如在等差数列中有：①若p+q=m+n则ap＋aq=am＋an②am=an+(m－n)d，③Sm+n=Sm+Sn+mnd．下面举例说明【例1】若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（）A．4005B．4006C．4007D．4008分析：本题主要考查等差数列的基本性质与运算能力．等差数列的前n项和公式有两种不同表示，等差数列的通项具有很多有趣而有用的性质，灵活应用这些性质可以找到解题捷径．题中提供了两个不同项的下标，分别为2003与2004，而选项提供的答案为2003×2及其附近的形式．如何抓住这些特征，如何进行所求问题的等价转化，如何快速地得到问题的求解途径，不同层次的同学将有不同的思考，首先分析已知条件，得出等差数列公差的正负的结论，并选择前n项和的表达式再将其转化为通项、特别是a2003、a2004的关系，然后求得问题的答案．由得公差d＜0，于是a2004＜0．al＋a4006=a2003＋a2004＞0，故S4006＞0．另一方面，al＋a4007=2a2004＜0，故S4007＜0．故答案选B．解答本题的主要错误为：对等差数列的通项的性质掌握不熟悉，看不出a2003＋a2004与S4006的关系；不能灵活应用等差数列的求和公式，而将问题中的变量全转化为al与d的关系(虽然这符合基本量思想)，但运算量用心爱心专心116号编辑加大，甚至无法求解；推理缺少严密性，缺少说明S4007＜0；另外本题不适宜用取特例法来完成，因数值较大．【例2】等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.260解法一：(用基本量思想方法)将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得：解法二：(既用基本量思想,又用到设而不求的方法)由知，要求S3m只需求m［a1+］,将②－①得ma1+d=70,∴S3m=210.解法三：由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数）.将Sm=30,S2m=100代入，得,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210解法四：(根据等差数列性质知：Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列)从而有：2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m),∴S3m=3(S2m－Sm)=210解法五： Sn=na1+d,∴=a1+d∴点(n,)是直线y=+a1上的一串点，由三点(m,),(2m,),(3m,)共线，易得S3m=3(S2m－Sm)=210.解法六：令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70+(70－30)=110∴S3=a1+a2+a3=210点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法一、解法二：用基本量思想,及设而不求的方法.解法三中是利...
