高三数学第二讲简易逻辑一、相关知识点1、命题：（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。2、充分条件与必要条件（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。3、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。二、典型例题例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“”解：（1）p且qp:菱形对角线相互垂直q:菱形对角线相互平分该命题是真命题；（2）p或qp:2<3q:2=3该命题是真命题例2．分别写出命题“若，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．解:逆命题:若全为零,则否命题:若,则逆否命题:若,则例3．命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解:命题“若，则有实根”的逆否命题是:若无实根,则.是个真命题.证明如下: 无实根∴＜0,即,从而,命题得证.例4．已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围．解：若方程有两个不相等的实负根，则有△=-;若方程无实根，则有△=； 或为真，∴又 且为假，∴假，从而、中为一真一假。当真假时，有I当真假时,有综上所述,例5、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。解题思路分析：利用“”、“”符号分析各命题之间的关系DCBA∴DA，D是A的充分不必要条件说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。例6、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾∴假设不成立∴x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。练习1、条件甲:;条件乙:,则甲是乙的A.充分而不必要条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2、下列说法：①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；②若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题；其中正确说法的序号是3、求直线：ax-y+b=0经过两直线1：2x-2y-3=0和2：3x-5y+1=0交点的充要条件。4、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是A、所给命题为假B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真D、它的否命题为真5、“α≠β”是cosα≠cosβ”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件6、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0
