高三数学空间直线与平面的位置关系（理）VIP专享VIP免费

空间直线与平面的位置关系（理）一周强化一、知识概述1、平面的性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。作用：①是用直线鉴别平面的方法。②证明直线在平面内的依据。（2）公理2：如果两平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线。作用：①这是判定两平面相交的方法。②说明两平面交线与两平面公共点之间的关系，交点必过公共点。③是判断点在直线上，即证若干点共线的依据。（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理3及三个推论的作用：①它是在空间中确定平面的依据。②它是证明两平面重合的依据。③它为立体几何问题转化为平面问题提供了理论依据和具体方法。2、平行直线（1）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。用心爱心专心3、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，它们既不平行也不相交。（2）判定：①定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内，常用反证法。②定理：连结平面外一点与平面内一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。（3）两条异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角，如果两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。4、直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。5、平面与平面平行（1）平行平面如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行，记作α∥β。（2）平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（3）两平面平行的性质定理。如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。6、直线与平面垂直用心爱心专心判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。7、三垂线定理及逆定理。定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。8、空间的角（1）两条异面直线所成的角定义：同前第3点中（3）求法：①直接法；②向量法。（2）直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角。求法：①直接法；②公式法。利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2；③向量法。（3）二面角定义：从一条直线出发引出两个半平面所组成的图形叫做二面角。一个平面垂直于二面角α—l—β的棱l，且与两个半平面的交线为射线OA，OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角。二面角的平面角的作法：①定义法；②三垂线法；③垂面法。二面角求法：①直接法；②射影面积法；③向量法。9、空间距离（1）点到平面的距离一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离。（2）直线到与它平行的平面的距离用心爱心专心一条直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。（3）两个平行平面的距离两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。（4）异面直线间的距离①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线；②两条异面直线的公垂线，夹在两异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。③两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。二、例题解析例1、如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥P...