高三数学空间直线与平面通用版知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学空间直线与平面通用版【本讲主要内容】空间直线与平面空间直线与直线间关系、直线与平面间关系、平面与平面间关系【知识掌握】【知识点精析】（一）平面的基本性质和空间的两条直线1.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1）公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）公理3经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（如图3）推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面（如图4）．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图5）推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图6）说明：公理1是研究直线与平面的关系，公理2是研究平面与平面的关系，公理3及三个推论是研究有关确定平面的条件.公理中的“有且只有一个”的含义是“既存在且唯一”．2.空间中两条直线位置关系平行——在同一平面内，没有公共点；相交——在同一平面内，有且仅有一个公共点；异面——不同在任何一个平面内．公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．说明：公理4反映了平行线的传递性，它是证明等角定理的基础，也是论证平行问题的主要依据之一．3.异面直线的判定及异面直线构成的角与距离（1）异面直线的判定方法主要有：①定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；②定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．（2）求两条异面直线所成的角的一般步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使它们成为相交直线.这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中的某一条上的特殊点．②求相交直线所构成的锐角（或直角，）通常在三角形中，计算这个角的大小．（3）异面直线间的距离是指它们的公垂线的长度.公垂线的确定方法：既相交又垂直．（二）空间的直线与平面1.直线与平面的位置关系（1）直线在平面内；（2）直线与平面平行；（3）直线与平面相交；相关概念——直线与平面所成的角①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．②直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．③直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°的角．2.直线和平面平行的判定与性质直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．aα∥，aβ,α∩β=ba∥b直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．即：a∥b，aα，bαaα∥.3.直线和平面垂直的判定与性质（1）直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即：aα，bα，且a,b相交，l⊥a,l⊥bl⊥α．（2）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即：aα⊥，bα⊥a∥b．（3）三垂线定理及逆定理：在平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线的射影垂直．即：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，aα，a⊥AOa⊥PO．注：三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（三）空间的平面与平面1.平面与平面的位置关系：（1）平行——没有公共点；（2）相交——有且仅有一条公共直线.2.平面和平面平行的性质与判定（1）判定两个平面平行的方法：①根据定义——证明两平面没有公共点；②判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；③证明两平面同垂直于一条直线。（2）两个平面平行的主要性质：①由定义知：“两平行平面没有公共点”。②由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。③两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，...