高三数学知识要点重温（5）等差、等比数列VIP免费

高中数学知识要点重温（5）等差、等比数列1．公差不为0的等差数列的通项是关于n的一次函数，一次项系数是公差；前n项和是关于n的二次函数，二次项系数是公差之半且常数项为0；即等差数列{na}中，na=dn+b（d为公差，n∈N），cnndSn22（n∈N）。证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：an-an-1=常数(1nnaa=常数)（)2n，也可以证明连续三项成等差（比）数列。[举例]{na}、{nb}都是各项为正的数列，对任意的Nn，都有na、2nb、1na成等差数列，2nb、1na、21nb成等比数列.试问{nb}是否为等差数列，为什么？解析：由21na=2nb21nb得1na=nb1nb，于是na=1nbnb（)2n，又22nb=na+1na，∴22nb=nb1nb+1nbnb（)2n，即2nb=1nb+1nb（)2n，∴数列{nb}是等差数列。注意：当用定义证明等差（比）数列受阻时，别忘了这“一招”！上述思路的关键是由“1na=nb1nb”到“na=1nbnb（)2n”的过渡，即所谓“升降标”，这也是处理数列问题的一个通法。[巩固]已知等差数列}{na的前n项和为nS，且55,1052SS，则过两点),(nSnPn、)2,2(2nSnQn的直线的斜率为：(A)4(B)3(C)2(D)1[迁移]公差非零的等差数列na中，前n项之和为nS，则数列,,21SS…nS…中A．不存在等于零的项B．最多有一项等于零C．最多有2项等于零D．可有2项以上等于零2.等差数列{an}中，m+n=p+q，则am+an=ap+aq，等比数列{an}中，m+n=p+q，则aman=ap·aq（m、n、p、qn∈N）；等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质。[举例1]在等差数列na中，972aaa为常数，则其前（）项和也为常数（A）6（B）7（C）11（D）12解析：等差数列na的前k项和为常数即kaa1为常数，而972aaa=36a为常数，∴26a=111aa为常数，即前11项和为常数，选C。注意：千万不要以为972aaa=18a=171aa，那就大错特错了！所谓“下标和相等则对应项的和相等”，是指两项和等于两项和，三项和等于三项和……。等差数列中“n项和”与“两项和（转化为a1+an）”有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n项和”联系起来。用心爱心专心1[举例2]等比数列{na}中，a4+a6=3，则a5（a3+2a5+a7）=解析：a5（a3+2a5+a7）=a5a3+2a52+a5a7=a42+2a4a6+a62=(a4+a6)2=9[巩固]在正项的等差数列{na}和正项的等比数列{nb}中，有11ba，1212kkba，试比较ka与kb的大小。[迁移]等比数列{na}中，2a、98a是方程032mxx（0m）的两根，则50a=若把条件中的“0m”换成“0m”呢？若把条件中的“2a、98a”换成“1a、99a”呢？[提高]在等差数列na中，前n项之和为nS,已知S5=25,Sn=64,Sn-5=9,则n=_____3．等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列。[举例1]在等比数列na中，S2=40，S4=60，则S6等于()A10B70C80D90解析：在等比数列na中，第一个两项和为40，第二个两项和为20（注意：S4是前4项和，不是两项和），则第三个两项和为10，S6为三个两项和相加，选B。[举例2]在等差数列na中，前n项之和为nS,已知S3=4，S18-S15=12，则S18=解析：在等差数列na中，第一个三项和为4，第六个三项和为12，S18即首项为4，末项为12的等差数列的6项和，为48。[巩固]在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,已知S5=2-b,S10=4-b,则S15=_________4.等差数列当首项a1>0且公差d<0，前n项和存在最大值。利用不等式组：001nnaa确定n值，即可求得Sn的最大值。等差数列当首项a1<0且公差d>0时，前n项和存在最小值。类似地确定n值，即可求得sn的最小值；也可视sn为关于n的二次函数，通过配方求最值；还可以利用二次函数的图象来求。[举例]设等差数列na满足3a8=5a13，且a1>0，则na的前__________项和最大解析：思路一：由3a8=5a13得：d=392a1,若前n项和最大，则03920)1(3921111naaana，又a1>0得：241239n，∴n=20,即na的前20项和最大。这一做法最通行。用心爱心专心2思路二：Sn=na1+21n(n-1)d=na1-391n(n-1)a1=-391a1(n...