高三数学直线与平面习题精选精讲VIP专享VIP免费

OABCDFEM直线与平面（1）线面关系——空间图形起源平面直线问题在平面几何中已经解决，这里所说的线面关系是平面和平面外的直线关系.一条直线和一个平面的位置关系有三种：①直线在平面内——有无数个公共点；②直线和平面相交——有且只有一个公共点；③直线和平面平行——没有公共点.一杆立地，使图形从平面伸展到空间，因此说空间线面关系是空间图形的起源.直线与平面垂直，是空间图形的支柱，也是高考的重点、热点和难点.【例1】如图（1），已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点奎屯王新敞新疆（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；【解析】(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,如图（2）图（1） O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE奎屯王新敞新疆 平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE奎屯王新敞新疆图（2）图（3）（Ⅱ）如图（3）， BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，∴BD⊥平面AE，又因为AM平面AE，∴BD⊥AM. AD=，AF=1，OA=1，∴AOMF是正方形，∴AM⊥OF，又AM⊥BD，且OF∩BD=O.∴AM⊥平面BDF.【点评】线面平行只要平面外一条直线与平面内的一条直线平行就能判定，即最终于由两条直线决定；而线面垂直时，需要平面外一直线与平面内两条直线垂直，而且这两条直线必须相交，即需要三条直线决定.（2）线线关系——寻找平面依托直线与平面位置关系的判定是通过直线与平面内的直线的位置关系而确定的，即通过线线关系而最终确定.但，空间直线不能“悬空”，空间直线要寻找平面为依托.空间线线关系有三种，相交和平行属平面几何范畴，只有异面直线是空间图形的象征.异面直线的定义为“不同在同一平面内的两条直线叫做异面直线”——这才是空间概念.异面直线既是空间图形的开场白，也是空间图形的结束语.空间图形一开场，就介绍了异面直线的判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.直到空间图形的理论学完，才会用“角度和距离”来确定两异面直线间的相对位置.从根本上讲，研究空间图形，就是研究两异面直线间的关系.用心爱心专心115号编辑ABCDFEM【例2】已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：①若；②若；③若；④若a与b异面，且相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解】举反例，找模型，如图（4）.①如图所示：AB=a,BC=b,CC1=c，而AB与CC1是异面直线，即a、c是异面直线；所以①不正确；②是正确的；③在右图中取AB=a,平面CDD1C1是平面，CC1=b,而AB与CC1是异面直线，即a与b是异面直线；④右图中设AB=a,MN=b，平面CDD1C1为，则b也平行于，所以④也不正确；⑤在图中设AB=a,B1C1=b,则垂直于a,b的直线有图（4）AA1，BB1，CC1，DD1，MN.所以⑤也不正确所以真命题只有②，即真命题的个数只有1个，答案选A.【点评】线离不开面，因此我们选择了一个正方体作模型，线与线的关系一目了然.（3）面面关系——归到线面处理不同的平面建构出了空间，也就是说空间是由（不同）平面建设起来的.如何解决空间图形问题？通俗地说：从哪儿来，回哪儿去！面面关系问题，首先退到线面关系上去研究.两个平面的平行问题,退到直线与平面平行上去研究；两个平面的垂直问题，退到直线与平面垂直上去研究；两个平面所成二面角的问题，退到平面角上去研究.这就是空间几何：从概念上讲，从平面“进到”空间——见所有的判定定理；从研究上讲，从空间“退到”平面——见所有的性质定理.【例3】已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ．【证法一】：如图（5），在γ内取一点P，作PA垂直于α与γ的交线于A，PB垂直于β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β， l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB， α与β相交，∴PA与PB相交，又PAγ，PBγ，∴l⊥γ．图（5）图（6）【证法二】：如图（6），在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线， α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，又nβ，∴m∥β，∴m∥l，∴l⊥γ．图（7）【证法三】：如图（7），在l上取一点P，过P作γ的垂线l′用心爱心专心115号...