高三数学用分类讨论的思维策略解题VIP免费

用分类讨论的思维策略解题分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集，并集为全集）。其关键是“为什么分类，怎样分类”。本文就此探讨如下：1．有些概念、性质、公式本身就是分类给出的，运用时应按规定分类，再按常规方法求解。中学数学中的绝对值，指数和对数函数的单调性，不等式性质和解法，等比数列的前n项和公式，直线的倾斜角和斜率、直线系、圆锥曲线的统一定义，复数的模和辐角主值，排列组合应用，二次函数在某动区间上的最值问题等都是分类给出的。要弄清限制条件，由概念的内涵和限制条件按规定分类。例1（2006年江苏卷）设a为实数，记函数的最大值为g(a)。（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）试求满足的所有实数a【思维展示】换元化归二次函数和分段函数区间上的问题，研究对称轴和区间的关系合理分类切入，（I） ，∴要使有意义，必须且，即 ，且……①∴的取值范围是。由①得：，∴，。（II）由题意知即为函数，的最大值， 直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，。综上所述，有=。（III）分段函数值域问题，依据分段的意义合理分类，当时，；当时，，，∴，，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，从而有或，要使，必须有，，即，此时，。综上所述，满足的所有实数a为：或。【学习体验】本题主要考查函数、方程等基本知识，更考查分类讨论的数学思维方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，应注重概念，公式，函数性质中的分类原则和方法的积累。2．有些问题在推导过程中，在不同条件下有不同结论，就必须区分不同情况分别讨论。例2已知等比数列的前n项和为nS，前n+1项和为1nS，公比q>0令)(1NnSSTnnn。求nnTlim。【思维展示】公比q为参数，用公式求和需分类，用重要极限结论也要分类。（1）当q=1时，1S,1nnnSn，11limlimnnTnnn（2）当1q时，qqaSqqaSnnnn1)1(1)1(1111，则111limlimnnnnnqqT。为用重要极限)1(0limqTnn，再分类。①01时，qqqqTnnnnn11)1(1)1(limlim11。综上).1(1),10(1limqqqTnn【学习体验】等比数列求和公式应按公比q=1和1q分类推导，求nnqiml时，应按1,1,1,1qqqq分别求解，一般数列的切入点更体现如何分类的问题，这是求解数列及数列极限中的常见的分类方法。3．由于参数和已知条件相对关系不确定而导致分类例3设k为实常数，问方程)4)(8()4()8(22kkykxk表示何种曲线？【思维展示】变形试图化归标准方程，借助参数的不同取值，合理分类切入，方程可化为18422kykx，但这需4k且8k，还需考虑)8)(4(kk的正负引起曲线类型的不同，同时应注意圆的特殊性，则分界点k=4，6，8。所以k应分成6类。方程表示的曲线为8).k4(k6),k8k(46),(k8),4(k或双曲线且椭圆圆或直线【学习体验】曲线的形状随着参数的变化而变换，这是圆锥曲线的定义揭示的曲线的本质属性，也是讨论曲线形状常用的分类的思维策略，应积累这种学习体验4．由图形位置变化而引起分类例4正三棱柱底面一边的长为a，侧棱长为2a，过底面一边作一个截面与底面所成角为，求此截面面积。【思维展示】截面所在位置的不同导致合理分类，由截面位置即形状为三角形或梯形，用平面角θ分类研究。作截面BCA1，取BC中点M，连11,AMAMAAM、是二面角1ABCA的平面角，记为a.易求得331AMAAtga，即6a。现应分两类求面积。①当6时，截面与1AA相交于D，设,/mtgAMAD则,23amAMmAD.332222maAMADDM故...