高三数学文解三角形人教实验版(A)【本讲教育信息】一.教学内容:解三角形二.重点、难点△ABC中六个基本量:A、B、C、a、b、c1.A+B+C=180°2.cba3.RCcBbAa2sinsinsin(R为△外接圆半径)4.Abccbacos22225.rcbaCabS)(21sin21(r为内切圆半径)【典型例题】[例1]△ABC中,a=7,b=5,c=3(1)求角A(2)求高AH(3)求中线AD(4)求角平分线AE(5)求面积(6)求外接圆半径(7)求内切圆半径解:(1)2130152cos222bcacbAA=120°(2)4315sin21AcbS用心爱心专心1431521AHaAHS(3)cos2222CDADCDADAC)cos(2222BDADBDADAB∴222222CDADABAC24929252AD219AD(4)8218357BECEBECEBECEABAC141375294925cosC2228925141383552)835(25AE815AE(5)4315sin21AcbS(6)AaRsin2337R(7)rcbaS)(2123r[例2]△ABC中三内角A、B、C依次成等差数列,b=7,a=8,求内切圆半径解:A、B、C成等差60BAaBbsinsin∴734sinA73460sinBC(1)A为钝角71cosA1435)sin(sinBAC∴5c用心爱心专心rcbaBcaS)(21sin21∴23r(2)A为锐角71cosA1433)sin(sinBAC∴3c∴332r[例3]△ABC中,cba,,成等差数列,2CA,求Bsin、Csin。解:cab2CABsinsinsin2∴CCCAsin)2sin()sin(2CCCsincos)22sin(2CCCsincos2cos2CCCCCCsincos)sin)(cossin(cos2∴1cossin21sincos22CCCC∴417sinC,417cosC∴47sinB[例4]△ABC中,3b,32c,A的平分线AD=2,求三个内角。用心爱心专心解:ABCACDABDSSS2sin212sin21AADACAADABAACABsin212cos2sin62sin32sin32AAAA∴232cosA3A93cos22222ACABACABBCa∴3a222cba∴2C∴6B[例5]在△ABC中,已知6:5:4sin:sin:sinCBA,求CBAcos:cos:cos。解析:根据正弦定理CcBbAasinsinsin,可得到CBAcbasin:sin:sin::,由6:5:4::cba可令ka4,kb5,kc6)0(k,利用余弦定理有43652163625cos222kkkkkA同理可得169cosB,81cosC∴81:169:43cos:cos:cosCBA2:9:12[例6]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为cba,,,且31cosA。(1)求ACB2cos2sin2的值;(2)若3a,求bc的最大值。用心爱心专心分析:(1)分别利用降幂公式、二倍角公式,化简所求式子再求值。(2)三角形中出现bc联想用余弦定理解题。解析:(1))1cos2()]cos(1[212cos2sin22ACBACB)1cos2()cos1(212AA91)192()311(21(2) 31cos2222Abcacb∴2222232abcacbbc∴243abc又 3a∴49bc当且仅当23cb时,49bc,故bc的最大值是49。[例7]△ABC中,内角A,B,C的对边分别为cba,,,已知cba,,成等比数列,且43cosB。(1)求CAcotcot的值;(2)设23BCBA,求ca的值。解析:(1)由43cosB得47)43(1sin2B由acb2及正弦定理得CABsinsinsin2于是CCAACACAsincossincostan1tan1cotcotCAACACsinsinsincoscossin774sin1sinsinsin)sin(22BBBBCA(2)由23BCBA得23cosBca,由43cosB,可得2ca,即22b由余弦定理Baccabcos2222得5cos2222Bacbca用心爱心专心∴9452)(222accaca∴3ca[例8]在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为cba,,,设cba,,满足条件222abccb和bc321,求∠A和Btan的值。解析:解法一:由余弦定理得212cos222bcacbA因此,∠A=60°在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=120°-∠B由已知条件,应用正弦定理得BBBCbcsin)120sin(sinsin321BBBsinsin120coscos120sin21cot23B解得2cotB,从而21tanB解法二:由余弦定理得212cos222bcacbA因此,∠A=60°由222abccb,得415321334...