数形结合的思想方法（文）一周强化一、一周内容概述在研究与解决数学问题时，将反映问题的抽象的数量关系与直观的空间图形结合起来考察，也即将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种重要的数学解题方法，我们称它为“数形结合的思想方法”．通过对图形的认识、数形的转化，培养思想的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．1、数形结合的应用主要有两种情形：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性．如应用曲线的方程可以精确地阐明曲线的几何性质，应用数字可以表示平面图形的大小．（2）借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系．如一些函数的最值问题、值域问题，都可以利用平面几何或解析几何知识解决；不等式中比较大小问题也可以用图形解决．2、应用数形结合解题时要注意的一些问题：（1）注意数与形转化的等价性．将陌生、复杂的数学问题转化为简单、熟知的数学问题，一定要注意转化前后的问题是等价的．（2）注意利用“数”的精确性．一些判断公共点个数的问题，转化为图形后一定要“数”精确才能得出正确结论．（3）注意图形的全面性．有些数学问题所对应的图形不唯一，就必须根据不同情况作出相应的图形再进行讨论求解．（4）注意图形的时效性．数形结合对某些问题来说，在一定的条件下可以使用该方法，但一旦条件发生变化，就有可能不再适用了．在高考中，对数形结合的考查是重点，它可以联系代数与几何，一般以各种题型出现都有可能，结合二次曲线时，题目有点难度，除外都比较基础．二、典型例题讲解例1、实系数一元二次方程x2＋ax＋2b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，求的取值范围．分析：用心爱心专心用二次函数的图像研究根的分布问题，再研究所得不等式和式子的几何意义．解：由x2＋ax＋2b=0的二根分别在区间（0，1）与（1，2）上的几何意义为y=f(x)=x2＋ax＋2b与x轴的两交点的横坐标分别在区间（0，1），（1，2）内在aOb坐标平面内，上面不等式表示的点集为△ABC的内部（如图所示）而的几何意义是点(a,b)与交点(1,2)连线的斜率．评注：本题解法中两次用到数形结合，一是研究方程根的分布，利用了二次函数的图像，二是在研究的取值范围时，根据其几何意义为斜率，列出不等式．用心爱心专心例2、解不等式：分析：一种方法是列出等价的不等式组求解；另一种方法是在同一坐标系内分别画出左、右两边函数的图像，再根据图像去分析．解法一：转化为解不等式组解法二：在同一坐标系内作的图像如图所示，并用解方程的方法求出交点A的横坐标为由图像知，原不等式的解集为评注：相比之下，显然解法二简捷多了．按解法一的方法解时，往往忽略定义域，或没有分类讨论，漏掉了其中一个不等式组，解起来计算量比较大，像这样一类含字母系数的解用心爱心专心不等式问题，通过图像求解，直观而简明，在求交点时需要计算，而在确定不等式解集时需要看图，体现了数与形的结合．例3、已知k∈R．讨论关于x的方程|x2－1|－x－k=0的实根情况．分析：问题并不要求具体求出方程的根，而是讨论有无实根和根的个数问题，用代数法求解较繁，而用图像法解既直观又快捷、准确．解：方程变形为|x2－1|=x＋k，方程实根的个数由两函数y1=|x2－1|与y2=x＋k的图像交点个数确定，因y2是随k的变化而变化的一组平行线，故设直线与x轴交于P(－k,0)，由图可知（1）当P在A（1，0）右侧，即k<－1时无交点；（2）当P与A重合，即k=－1时有一交点；（3）当P在A、B（－1，0）之间，即－1
