数列（二）（理）一周强化一、一周知识概述本周继续复习数列，主要内容有等差数列和等比数列的综合合问题.数列的求和，能从观察数列特点和规律，在分析数列的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．解题时的突破口在于认真分析数列通项，从通项的分解和变形中寻找方法.求一般数列的前n项和，无通法可循，要掌握一些特殊数列的求和方法，必要时可采用猜测——归纳——证明的方法.另一个主要内容是等差数列和等比数列的综合应用，解答数列应用题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差或等比数列、递推数列的模型，再综合运用其它相关的知识解决问题．二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周复习的重点1、求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：（1）公式法求和：常用的公式有：（2）倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法；（3）错位相消法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得到的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广；（4）裂项求和：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差数列、等比数列，再求解；（5）折项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项；用心爱心专心（6）无穷递缩等比数列求和公式：除上面方法外，还有归纳猜想法、组合法、复数法等等．2、数列作为特殊的函数，在中学数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题较多，诸如圆钢堆垒、增减率、银行信贷中复利的计算，等题型．解答数列应用问题，应充分运用观察、归纳，猜想的手段，建立出有关等差（比）数列，递推数列的模型，再综合运用其它相关知识来解决问题．（二）本周复习的难点1、关于数列求和应注意的几个问题（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．（2）注意观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．（3）求一般数列的前n项和，无通法可循，我们要掌握某些特殊数列前项n和的求法，触类旁通．2、解决与数列有关的应用问题，要善于建立数学模型，建立数学模型的一般步骤是：（1）认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中主要已知事项；明确所求的结论是什么．（2）抓住数量关系，联想数学系知识和数学方法，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．（3）将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，根据题意列出满足题意的数学关系式．三、例题点评例1、有两个正项数列{an}{bn}，对任意自然数n都有an，bn，an+1成等差bn，an+1，bn+1成等比，其中a1=1，a2=3，求an和bn.分析：an、bn关系牵连，交叉渗透.要分别求an、bn就如同解二元方程必须要消元转化为一元方程一样.交叉数列须抓住它们的关系消去一个数列，而得到另一数列自身的递推关系，从而得解的通项.用心爱心专心解： 2bn=an＋an+1，又an>0,bn>0为首项，为公差的等差数列.例2、已知数列{}是递减的等差数列，且．试求这个数列前多少项和最大，并求这个最大值．分析:可以根据的表达式子得到的最大值，也可从研究数列的单调性和值的正、负求的最值．解答：解法一：设等差数列的首项为，公差为d，依题意有：用心爱心专心由于{}是递减数列，有d<0，可解得，d=-3，∴，又离最近的自然数是14．∴这个数列前14项和最大，最大值是．解法二：由解法一，已知，d=-3，∴由得由于，d=-3<0，数列{}是递减数列，则有∴使成立的最大自然数n，使取最大值，即这个数列前14项和最大，其最大值.点评：由于等差数列的前n项和的表达式是关于n的二次式，因此可用二次函数求最值的方法求的最值，这里要注意，也可从研究数列的单调性和值的正、负求的最值．上述两种解法就是分别从这两方面考虑得到的．例3、已知数列{an}，{ab}，满足an>0(n≥2),bn>0,若对于任意n∈N*，都有成等差数列，成等比数列.（I）求证：数列{bn}是等差数列.用心爱心专心（II）如果a1=－1,b1=1,记数列的前n项和为Sn，求解：（I）由题意得由②得③将③代入①得，...
