高三数学数列的综合应用【本讲主要内容】数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题，数列与其他数学知识的综合问题，数列在实际问题中的应用。【知识掌握】【知识点精析】1.等差数列与等比数列的综合问题，主要是运用它们的性质、通项公式、前n项和公式将已知条件转化为数学式子（方程或不等式等）。2.在解决数列与其他数学知识的综合问题中，应该注意思维的角度和解题途径的选择，从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化的观点，将问题变形转换，要分清所给问题中的数列是哪种类型，与其他数学知识的关系如何，以达到解决问题的目的。3.用数列解决实际应用性问题，主要有增长率问题，存贷款的利息问题，几何模型中的问题等等。要把实际应用题转化为某种数列的模型，要分清是等差数列还是等比数列，还是有递推关系的数列，分清所涉及的量是数列中的项，还是各项和，有时还要注意数清项数，以使问题准确解决。【解题方法指导】例1.（2005年全国卷三）在等差数列中，公差d≠0，是与的等比中项，已知数列成等比数列，求数列的通项。解题思路分析：这是一道等差数列与等比数列的综合问题，只需依题设条件，按已知的公式列式即可。解：依题意得，整理得，得所以，由已知得是等比数列由d≠0，所以数列1，3，，…，，…也是等比数列首项为1，公比为q=3，由此得等比数列{}的首项，公比q=3，所以即得到数列{}的通项例2.（2005年上海卷）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解题思路分析：这是一道实际应用题，依题意，先分析出中低价房面积逐年增长后，每年的面积数成等差数列，首项为250（万平方米），公差为50（万平方米）；而每年新建住房面积逐年增长后，每年的面积数成等比数列，首项是400（万平方米），公比为（1+8%），然后再依据题中条件列式，而第（1）问中，指的是中低价房的累计面积，所以应为数列的前n项和；而第（2）问中，指的是该年建造的住房面积，应为数列的第n项。解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中，则，令，即，而n是正整数，∴n≥10∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不小于4750万平方米。（2）设新建住房面积形成数列，由题意可知是等比数列，其中，则由题意可知，有，即，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%。例3.设函数的最大值为，最小值为，又记，（1）求数列的通项公式；（2）求证：解：（1）将函数解析式变形为①当y=1时，；当y≠1，由方程①有实根，得即②而y=1也是此不等式的解。由题意知，不等式②的解集为［］，则是方程的两个实数根（此方程判别式大于零），据根与系数关系，得（2）对于n≥2，有而所以结论成立。评述：因为数列是特殊的函数，所以求的通项公式，就是确定与n的关系，由题设可知要求，应先求出，这又涉及到求一个分式函数的最值问题，这里是将函数式转化成关于x的二次方程，然后由判别式求解的。本题第二问又涉及到不等式的证明，运用放缩法将转化为可求和的两个数列，从而得证。【考点突破】【考点指要】数列的综合问题在高考题中常常出现在解答题中，而且多数在最后的大题，占12～14分。以05年、06年各省市的高考题来看，有一半以上的试卷都是最后一道大题，占14分。从知识内容上看，有等差数列、等比数列各公式和性质；有不等式的解和证明；有函数的性质；有实际应用题；有解析几何中曲线的性质等等。从方法上看，有用数学归纳法；数列求和的一些方法；不等式证明中的一些方法，还有的是新定义的一些数列，考查分析、归纳能力的问题。【典型例题分析】例4.（2006年山东文科卷）已知数列中，，点（n，）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…（I）...
