高三数学我研究的几道数学好题VIP免费

几道数学好题。1.（改编题）数列{an}满足)1(21)11(1211nannaannn且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2nan；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2neaxxxn证明成立对，其中无理数e=2.71828….解答：（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222a，不等式成立.（2）假设当)2(kkn时不等式成立，即),2(2kak那么221))1(11(1kkkakka.这就是说，当1kn时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22nak对所有成立.（Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有)1.()2111(21)11(221nannannannnnn两边取对数并利用已知不等式得nnnannaln)2111ln(ln21.211ln2nnnna故nnnnnaa21)1(1lnln1).1(n上式从1到1n求和可得121212121)1(1321211lnlnnnnnaa.22111121121121111)3121(211nnnnn即).1(,2ln2neaann故（Ⅱ）证法二：用心爱心专心由数学归纳法易证2)1(2nnnn对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21nnnannannannnn令).2())1(11(),2(11nbnnbnabnnnn则取对数并利用已知不等式得nnbnnbln))1(11ln(ln1).2()1(1lnnnnbn上式从2到n求和得)1(1321211lnln21nnbbn.11113121211nn因).2(3,3ln1ln.313ln11122neebbabnn故故1,,,2,132222121neaeaeaneeann对一切故又显然成立.2．（改编题）函数)(xfy在区间（0，+∞）内可导，导函数)(xf是减函数，且.0)(xf设mkxyx),,0(0是曲线)(xfy在点（)(,00xfx）得的切线方程，并设函数.)(mkxxg（Ⅰ）用0x、)(0xf、)(0xf表示m；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0xfxgx时；（Ⅲ）若关于x的不等式),0[231322在xbaxx上恒成立，其中a、b为实数，用心爱心专心求b的取值范围及a与b所满足的关系.解答：（Ⅰ）解：).()(000xfxxfm（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00xhxfxfxhxfxgxh则因为)(xf递减，所以)(xh递增，因此，当0)(,0xhxx时；当0)(,0xhxx时.所以0x是)(xh唯一的极值点，且是极小值点，可知)(xh的最小值为0，因此,0)(xh即).()(xfxg（Ⅲ）解法一：10b，0a是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.0)1(,122baxxbaxx即对任意),0[x成立的充要条件是.)1(221ba另一方面，由于3223)(xxf满足前述题设中关于函数)(xfy的条件，利用（II）的结果可知，3223xbax的充要条件是：过点（0，b）与曲线3223xy相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为.)2(21bxby于是3223xbax的充要条件是.)2(21ba综上，不等式322231xbaxx对任意),0[x成立的充要条件是.)1(2)2(2121bab①显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121bb②有解、解不等式②得.422422b③因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.（Ⅲ）解法二：0,10ab是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.用心爱心专心0)1(,122baxxbaxx即对任意),0[x成立的充要条件是.)1(221ba令3223)(xbaxx，于是3223xbax对任意),0[x成立的充要条件是.0)(x由.0)(331axxax得当30ax时;0)(x当3ax时，0)(x，所以，当3ax时，)(x取最小值.因此0)(x成立的充要条件是0)(3a，即.)2(21ba综上，不等式322231xbaxx对任意),0[x成立的充要条件是.)1(2)2(2121bab①显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(bb②有解、解不等式②得.422422b因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.3.(改编题)已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间及其极值;（Ⅱ）证明：对一切，都有成立.解答：（Ⅰ）解：，令，得.0增极大值减用心爱心专心由上图表知：的单调递增区间为，单调...