导数的概念与运算一周强化一、一周知识概述本周学习导数的概念与运算．教材先从讨论非匀速直线运动在某一时刻的瞬时速度的方法入手，通过瞬时速度给出变化率、导数的概念，再探讨曲线在某一点处的切线和导数之间的关系，给出导函数的概念，然后利用导数的概念推导导数的运算法则并给出基本导数公式．二、重点知识归纳及讲解1、瞬时速度一般地，非匀速直线运动的物体在到这段时间内的平均速度，当时的极限叫做这个物体在某一时刻的瞬时速度，即．说明：瞬时速度的大小精确地刻划了非匀速直线运动的物体在运动的某一时刻的运动快慢．2、导数的概念：（1）如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数在点x0处可导，并把这个极限叫做在点x0处的导数，记作即．说明：（1）（x0）=的几种等价形式：（x0）===（2）导数是用来刻画函数变化的快慢的，因此也把导数叫做函数的变化率．3、导函数的概念用心爱心专心如果函数在开区间（a，b）内每一点都可导，就说f（x）在开区间（a，b）内可导.这时对于开区间（a，b）内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间（a，b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f（x）在开区间（a，b）内的导函数，记作，即=，导函数也简称导数．（1）用定义求函数的导数的步骤：①求函数的改变量Δy；②求平均变化率；③取极限，得导数=．（2）函数在点处有定义、有极限、连续和可导的关系①在点处有定义，不一定在点处连续；但在点处连续，一定在点处有定义．即在点处有定义是在点处连续的必要不充分条件．②在点处连续，则在点处一定有极限，且，但在点处有极限，不一定在点处连续，即在点处连续是在点处有极限的充分而不必要条件．③在点处可导，则在点处一定连续，但在点处连续，不一定在点处可导，即在点处连续是在点处可导的必要而不充分条件．4、导数的几何意义几何意义：函数在点x0处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率．用心爱心专心曲线的切线方程的求法步骤：（1）求出函数在点x0处的导数，即曲线在点处的切线的斜率为；（2）由点斜式写出切线的方程：，但要注意函数在导数不存在的点处的切线是与轴垂直的直线．5、导数的四则运算法则：设u、v是可导函数，则，，．6、几种常见的导数：①（C为常数）;②（为任意实数）;③，④;；用心爱心专心⑤．例1、（1）已知，则的值为（）A．－4B．8C．0D．不存在解：，故选B．（2）函数极限的值为（）A．B．C．D．解：，故选C．例2、已知曲线C：y=x3－3x2＋2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标．分析：切点（x0，y0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可．解：用心爱心专心 直线过原点，则k=（x0≠1）．由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x03－3x02＋2x0，∴=x02－3x0＋2．又y′=3x2－6x＋2，∴在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=（x0）=3x02－6x0＋2，∴x02－3x0＋2=3x02－6x0＋2，整理得2x02－3x0=0．解得x0=（ x0≠0）．这时，y0=－，k=－，因此，直线l的方程为y=－x，切点坐标是（，－）．评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.例3、求下列函数的导数：（1）y=x2sinx;（2）y=ln（x＋）；（3）y=；（4）y=．解析：（1）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx．用心爱心专心（2）y′=·（x＋）′=（1＋）=．（3）y′==．（4）y′===．三、难点知识剖析1、导数概念的理解（1）函数在某一点的导数，就是在该点的函数改变量与自变量改变量的极限，因此，它是一个常数，不是变数；（2）自变量改变量可以为正，也可以为负，也可以时正时负，但，而函数的改变量，根据函数的变化可正可负，也可以是0．例4、设在处可导，且，则=（）A．1B．0C．3D．解：用心爱心专心，，故选D．2、导数运算的简单应用导数的运算中，对于多项式函数常常可以达到降次的作用，因此在数列求和中，一类数列的求和常常可以利用构造母函数的方法，然后利用导数的方法求和．例5、利用导数求和：（1）Sn=1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1（x≠0，n∈N*）；（2）Sn=C＋2C＋3C＋…＋nC（n∈N*）．解析：（1）当x...
