高三数学奥赛辅导系列：数学的整除性VIP免费

数学的整除性整数的整除性定义：设a，b为二整数，且b≠０，如果有一整数c，使a＝bc，则称b是a的约数，a是b的倍数，又称b整除a，记作b|a．显然，1能整除任意整数，任意整数都能整除0．性质：设a，b，c均为非零整数，则①．若c|b，b|a，则c|a．②．若b|a，则bc|ac③．若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|ma＋nb④．若b|ac，且(a，b)＝1，则b|c证明：因为(a，b)＝1则存在两个整数s，t，使得as＋bt＝1∴asc＋btc＝c∵b|acb|asc∴b|(asc＋btc)b|c⑤．若(a，b)＝1，且a|c，b|c，则ab|c证明：a|c，则c＝as(s∈Z)又b|c，则c＝bt(t∈Z)又(a，b)＝1∴s＝bt'(t'∈Z)于是c＝abt'即ab|c⑥．若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c⑦．(a－b)|(an－bn)(n∈N)，(a＋b)|(an＋bn)(n为奇数)整除的判别法：设整数N＝1121naaaa①．2|a12|N，5|a15|N②．3|a1＋a2＋…＋an3|N9|a1＋a2＋…＋an9|N③．4|21aa4|N25|21aa25|N④．8|321aaa8|N125|321aaa125|N⑤．7||14nnaaa－321aaa|7|N用心爱心专心⑥．11||14nnaaa－321aaa|11|N⑦．11|[(a2n＋1＋a2n－1＋…＋a1)－(a2n＋a2n－2＋…＋a2)]11|N⑧．13||14nnaaa－321aaa|13|N推论：三个连续的整数的积能被6整除．例题：1．设一个五位数abcad，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除．解：11|abcad∴11|a＋c＋d－b－a即11|c＋3∴c＝81≤a≤9，且a∈Z2．设72|673ab，试求a，b的值．解：72＝8×9，且(8，9)＝1∴8|673ab，且9|673ab∴8|73bb＝6且9|a＋6＋7＋3＋6即9|22＋a∴a＝53．设n为自然数，A＝3237n－632n－855n＋235n，求证：1985|A．证明：∵1985＝397×5A＝(3237n－632n)－(855n－235n)＝(3237－632)×u－(855－235)×v(u，v∈Z)＝5×521×u－5×124×v∴5|A又A＝(3237n－855n)－(623n－235n)＝(3237－855)×s－(623－235)×t(s，t∈Z)＝397×6×s－397×t∴397｜A又∵(397，5)＝1∴397×5｜A即1985｜A4．证明：没有x，y存在，使等式x2＋y2＝1995(x，y∈Z)成立．证：假设有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立．∵x2，y2被4除余数为0或1．∴x2＋y2被4除余数为0，1或2．用心爱心专心又∵1995被4除余数为3．∴得出矛盾，假设不成立．故没有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立．费马小定理：若p是素数，(m，p)＝1则p|mp-1－15．试证：999…9能被13整除．12个证明：∵10－1＝9，100－1＝99，…，1012－1＝999…9．12个又（10，13）=1∴13｜(1013－1－1)，即13｜(1012－1)∴13｜999…9．12个6．请确定最小的正整数A，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍．解：设该数为A＝121nnnaaaa，其中a1＝6令x＝122nnnaaaa则A＝6x＝x·10＋6于是4A＝6x＝6×10n-1＋x即有4×10x＋24＝6×10n-1＋xx＝12(104)13n∵(2，13)＝1，x是整数∴13|(10n-1－4)n＝1，2时，10n-1－4＜10显然不满足条件n＝3时，10n-1－4＝96不满足条件n＝4时，10n-1－4＝996不满足条件n＝5时，10n-1－4＝9996不满足条件n＝6时，10n-1－4＝99996满足条件∴x＝13999962＝15384即A＝1538467．一个正整数，如果用7进制表示为abc，如果用5进制表示为cba，请用10进制表示这个数．解：由题意知：0＜a，c≤4，0≤b≤4，设这个正整数为n，则n＝abc＝a×72＋b×7＋c，n=cba=c×52＋b×5＋a∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a48a＋2b－24c＝0用心爱心专心b＝12(c－2a)∴12｜b，又∵0≤b≤4∴b＝0，∴c＝2a∴当a＝1，c＝2时，n＝51当a＝2，c＝4时，n＝102练习：1．证明：设N＝19881988－19861986，则1987∣N2．设n是自然数，求证n5－n可被30整除．3．请确定最小的正整数A，其末位数为2，若将末位数2移至首位，其余数字不变，则是原数的2倍．4．一个正整数，若用9进制表示为abc，若用7进制表示为cba，请用10进制表示此数．5．五位数467aa能被4整除，最末两位组成的数7a能被6整除，求此五位数．用心爱心专心