高三数学奥赛辅导系列：函数的基本性质（1）VIP免费

函数的基本性质（一）基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的．例题：1.已知f（x）＝8＋2x－x2，如果g（x）＝f（2－x2），那么g（x）（）A．在区间（－2，0）上单调递增B．在（0，2）上单调递增C．在（－1，0）上单调递增D．在（0，1）上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些．选C．2.设f（x）是R上的奇函数，且f（x＋3）＝－f（x），当0≤x≤32时，f（x）＝x，则f（2003）＝（）A．－1B．0C．1D．2003解：f（x＋6）＝f（x＋3＋3）＝－f（x＋3）＝f（x）∴f（x）的周期为6f（2003）＝f（6×335－1）＝f（－1）＝－f（1）＝－1选A3.定义在实数集上的函数f（x），对一切实数x都有f（x＋1）＝f（2－x）成立，若f（x）＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（）A．150B．3032C．152D．3052提示：由已知，函数f（x）的图象有对称轴x＝32于是这101个根的分布也关于该对称轴对称．即有一个根就是32，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝32对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于32×100＝150所有101个根的和为32×101＝3032．选B4.实数x，y满足x2＝2xsin（xy）－1，则x1998＋6sin5y＝______________．解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法（快速）求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法（x－sin（xy））2＋cos2（xy）＝0∴x＝sin（xy）且cos（xy）＝0∴x＝sin（xy）＝±1∴siny＝1xsin（xy）＝1原式＝7用心爱心专心5.已知x＝1999是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________．解：（逆向思考：什么样的方程有这样的根？）由已知变形得x－9919∴x2－219x＋19＝99即x2－80＝219x再平方得x4－160x2＋6400＝76x2即x4－236x2＋6400＝0∴b＝－236，c＝6400b＋c＝61646.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），f（x）＝0有实数根，且f（x）＝1在（0，1）内有两个实数根，求证：a＞4．证法一：由已知条件可得△＝b2－4ac≥0①f（1）＝a＋b＋c＞1②f（0）＝c＞1③0＜－2ba＜1④b2≥4acb＞1－a－cc＞1b＜0（ a＞0）于是－b≥2ac所以a＋c－1＞－b≥2ac∴（ac）2＞1∴ac＞1于是ac＋1＞2∴a＞4证法二：设f（x）的两个根为x1，x2，则f（x）＝a（x－x1）（x－x2）f（1）＝a（1－x1）（1－x2）＞1f（0）＝ax1x2＞1由基本不等式x1（1－x1）x2（1－x2）≤[41（x1＋（1－x1）＋x2＋（1－x2））]4＝（41）2用心爱心专心∴216a≥a2x1（1－x1）x2（1－x2）＞1∴a2＞16∴a＞47.已知f（x）＝x2＋ax＋b（－1≤x≤1），若|f（x）|的最大值为M，求证：M≥12．解：M＝|f（x）|max＝max{|f⑴|，|f（－1）|，|f（－2a）|}⑴若|－2a|≥1（对称轴不在定义域内部）则M＝max{|f（1）|，|f（－1）|}而f（1）＝1＋a＋bf（－1）＝1－a＋b|f（1）|＋|f（－1）|≥|f（1）＋f（－1）|＝2|a|≥4则|f（1）|和|f（－1）|中至少有一个不小于2∴M≥2＞12（2）|－2a|＜1M＝max{|f（1）|，|f（－1）|，|f（－2a）|}＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－24a＋b|}＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－24a＋b|，|－24a＋b|}≥14（|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－24a＋b|＋|－24a＋b|）≥14[（1＋a＋b）＋（1－a＋b）－（－24a＋b）－（－24a＋b）]＝21(2)42a≥12综上所述，原命题正确．8.⑴解方程:（x＋8）2001＋x2001＋2x＋8＝0⑵解方程：22(1)22224121(1)1xxxxx用心爱心专心⑴解：原方程化为（x＋8）2001＋（x＋8）＋x2001＋x＝0即（x＋8）2001＋（x＋8）＝（－x）2001＋（－x）构造函数f（x）＝x2001＋x原方程等价于f（x＋8）＝f（－x）而由函数的单调性可知f（x）是R上的单调递增函数于是有x＋8＝－xx＝－4为原方程的解（2）两边取以2为底的对数得2222222222222222222222241log(1)1(1)1log(241)log(1(1)1)21log(241)2log(1(1)1)(1)()log(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxx即即构造函数于是f（2x）＝f（x2＋1）易证...