奥林匹克数学的技巧（下篇）2-7-18优化假设对已知条件中的多个量作有序化或最优化（最大、最小、最长、最短）的假定，叫做优化假设，常取“极端”、“限定”、“不妨设”的形式。由于假设本身给题目增加了一个已知条件，求解也就常能变得容易。求解104246296,,IMOIMOIMO都用到这一技巧。例2-166空间2(2)nn个点，任4点不共面，连21n条线段，证明其中至少有3条边组成一个三角形。证明设其中任意三条线段都不能组成三角形，并设从A1点引出的线段最多（优化假设），且这些线段为A1B1，A1B2，…A1Bk，除A1，B1，B2，…，Bk之外，其他点设为A2，A3，…，A2n-k。显然12,,,kBBB…中任两点间无线段相连。于是，每一个iB发出的线段至多（2nk）条，而每个jA发出的线段至多k条（1,2,,1,2,,2ikjnk……），故线段总数最多为（图2-65）：221(2)[(2)(2)](2)[]22knklnknkkknkn这与已知条件连21n条线段矛盾，故存在三条线段组成一个三角形。例2-167平面上的有限个圆盘盖住了面积为1的区域S，求证可以从中选出一些互不相交的原盘来，使它们的面积之和不小于19。证明将圆心为O，半径为r的原盘记为(,)Cor。首先取全体圆盘中面积最大的一个记为11(,)Cor；然后在与11(,)Cor不相交的圆盘中取面积最大的一个，记为22(,)Cor，接着在与11(,)Cor，22(,)Cor都不相交的圆盘中取面积最大的一个，记为33(,)Cor，继续这一过程，直到无圆可取为止，设取得的圆盘依次为11(,)Cor，22(,)Cor，…，(,)nnCor（1）则（1）中的圆盘互不相交，且剩下的圆盘均与（1）中的某一圆盘相交。下面证明，（1）中各圆面积之和12nSSS…不小于19。任取xS，必存在一个已知圆盘(,)Cor，使(,)cCor。这个(,)Cor或在（1）中，或与（1）中的圆盘相交，反正必与（1）有重迭部分，现设（1）中与(,)Cor有公共部分的最大圆盘为(,)(1)kkCorkn，因为(,)Cor，(,)kkCor与11(,)Cor，22(,)Cor，…，11(,)kkCor均不相交，故由(,)kkCor的取法知krr，且由(,)(,)kkCorCor知，(,)(,3)kkCorCor，更有(,3)kkxCor。这表明1(,3)niiiSUCor用心爱心专心从而222121(3)(3)(3)nrrr…22212129()9()nnrrrSSS……得121()9nSSS…2-7-19计算两次对同一数学对象，当用两种不同的方式将整体分为部分时，则按两种不同方式所求得的总和应是相等的，这叫计算两次原理成富比尼原理。计算两次可以建立左右两边关系不太明显的恒等式。在反证法中，计算两次又可用来构成矛盾。例2-168能否从1，2，…，15中选出10个数填入图2-66的圆圈中，使得每两个有线相连的圈中的数相减（大数减小数），所的的14个差恰好为1，2，…，14？解考虑14个差的和S，一方面S=1+2+…+14=105为奇数。另一方面，每两个数,ab的差与其和有相同的奇偶性(mod2)abab因此，14个差的和S的奇偶性与14个相应数之和的和S’的奇偶性相同，由于图中的每一个数a与2个或4个圈中的数相加，对S’的贡献为2a或4a，从而S’为偶数，这与S为奇数矛盾，所以不能按要求给图中的圆圈填数。例2-169设12,,,naaa…为1，2，…，n的一个排列，kf是集合,iikaaaik元素的个数，而kg是集合,iikaaaik元素的个数（1,2,,kn…），证明11nnkkkkfg证明考虑集合(,),ikikSaaaaik的元素个数S。一方面，固定k先对i求和，然后再对k求和，得1nkkSf；另一方面，固定i先对k求和，然后再对i求和，又得到11nnikikSgg，所以得11nnkkkkfg。2-7-20辅助图表解题中作一些辅助性的图形或表格，常克使问题的逻辑结构直观地显现出来，并提供程序性操作的机会，例3-2的处理曾获冬令营特别奖，同样的方法可用来求和222(1)(21)126nnnnSn…例2-170设1,2,,,2Nnn…。N的子集(1,2,iAi…,t)组成集合12,,,tFAAA…。如果对于每一对元素,xyN，有一个集合iAF使得,iAxy恰含一个元素，则称F是可分的。如果N的每一个元素至少属于一个集iAF，则称F是覆盖的。问使得有一个12,,,tFAAA…既是可分的又是覆盖的t的最小值()fn是多少？用...
