南华中学高2016级文科数学天天练习（17）（专题）（例题）略1.【14大纲卷】已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.（变式）：2.（15，上海）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的余弦值.二、讲稿：1.如图，在三棱柱中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（1）证明：；（2）求直线和平面所成的角的正弦值.2.如图，在四棱锥中，平面平面；，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.3.如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。（I）证明：平面平面；（II）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。ADEBC4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值.参考答案1.2.（15，上海）【答案】在中，，二、讲稿：1.【15浙江，文18】【答案】(1)略；(2)【解析】(1)利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；(2)通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值.试题解析：(1)设为中点，由题意得平面，所以.因为，所以.所以平面.由，分别为的中点，得且，从而且，所以是平行四边形，所以.因为平面，所以平面.(2)作，垂足为，连结.因为平面，所以.因为，所以平面.所以平面.所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以2.【14浙江文】3.【15湖南】【答案】（I）略；(II).【解析】试题分析：（I）首先证明，，得到平面，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面平面；(II)设AB的中点为D,证明直线直线与平面所成的角，由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.试题解析：（I）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以，因此平面，而平面，所以平面平面。（II）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，所以，在中，，所以故三棱锥的体积。【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质【名师点睛】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直.4.（15，全国2卷）．解:（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；（Ⅱ）由交线围成的正方形,计算相关数据．以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,并求平面的法向量和直线的方向向量,利用求直线与平面所成角的正弦值．试题解析:（Ⅰ）交线围成的正方形如图:（Ⅱ）作,垂足为,则,,因为为正方形,所以．于是,所以．以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,．设是平面的法向量,则即所以可取．又,故．所以直线与平面所成角的正弦值为．考点:1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．A1AB1BD1DC1CFEHGM
