复数的向量表示及复数的三角形式一周强化一、一周知识概述由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义．二、重点知识归纳及讲解1、复数的向量表示复数集C与复平面内的向量集合(O为原点)一一对应．说明：(1)零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数；(2)向量的模r就是复数Z=a＋bi(a,b∈R)的模，即．2、复数的三角形式及运算(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．(3)复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则用心爱心专心3、复数的几何意义(1)复数模的几何意义：，即Z点到原点O的距离，一般地|Z1－Z2|即Z1点到Z2点的距离．(2)复数加、减法的几何意义图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．即Z=Z1＋Z2，．(3)复数乘、除法的几何意义：设Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，则ZZ1的几何意义是把Z的对应向量按逆时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按顺时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的r1倍，所得向量即表示积ZZ1，如图，Z1≠0,的几何意义是把Z的对应向量按顺时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商.用心爱心专心4、复数的指数形式把模为1，辐角为θ(以弧度为单位)的复数cosθ＋isinθ用记号eiθ表示，即eiθ=cosθ＋isinθ，由此任何一个复数Z=r(cosθ＋isinθ)就可以表示为Z=reiθ形式，我们把这一表达式叫做复数的指数形式．例1、已知0＜α＜π，且，复数Z=tanα－i．(1)求Z的三角形式；(2)若|Z|＜2，求argZ的取值范围．评析：用心爱心专心化含三角函数关系的复数为三角形式时，应把握概念，准确运用有关三角公式．例2、设|Z|=1，argZ=0，且0＜θ≤π，．(1)存在实数a，b，使|ω|=a＋bcosθ成立，求a，b；(2)若|ω|=1，求θ．解：依题意可设Z=cosθ＋isinθ，则ω=1＋Z＋Z2=1＋cosθ＋isinθ＋cos2θ＋isin2θ．(2)若|ω|=1，则3＋4cosθ＋2(2cos2θ－1)=1，即4cos2θ＋4cosθ＋1=0.例3、复数Z1与Z2满足：Z1＋Z2=2i，|Z1Z2|=3，且，问：当|u|为何值时，cosθ取得最大值和最小值？并求出这一最大值和这一最小值．用心爱心专心三、难点知识剖析复数的几何意义的理解是本讲的难点．由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法．复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程．如圆|Z－Z0|=r；线段中垂线：|Z－Z1|=|Z－Z2|；椭圆：|Z－Z1|＋|Z－Z2|=2a(2a＞|Z1－Z2|)双曲线：||Z－Z1|－|Z－Z2||=2a(2a＜|Z1－Z2|)用心爱心专心例4、设复数Z1、Z2、Z3满足：|Z1|=1，Z2=Z1Z，Z3=Z1Z2，其中，若Z1、Z2、Z3在复平面上所对应的点分别是Z1，Z2，Z3，求△Z1Z2Z3的面积．解：由复数及复数乘法的几何意义，Z1点在单位圆O上，设其辐角主值为θ，Z点是，其辐角主值是，∵Z2=Z1Z，∴Z2点是将逆时针旋转θ角后对应向量的终点，同理向量则是由向量逆时针旋转后，再将模伸长为模的3倍而得到．如图所示：用心爱心专心
