高三数学复习专题——化归转化思想人教版VIP免费

化归和类比化归转化思想是指把待解决的问题通过转化归结为已有知识范围内可解的问题的一种思维方式，化归在数学上是应用最为广泛的一种思维方式，解数学题转化，可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无不是在不断地转化中获得解决的，既使是数形结合思想、函数方程思想也都是化归思想的表现形式。化归一般总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，不熟悉转化为熟悉。如：对于的一切值，是使恒成立的_____________条件。把转化为，即当时不等式成立，这仅仅只是恒成立的特殊情况，显然答案为必要不充分条件。化归包含三个基本要素：①化归对象，即把什么东西进行化归；②化归目标，即化归到何处去；③化归途径，即如何进行化归。所谓类比，是指根据两个对象之间存在的某种关系，从一种对象具有的属性类比到另一个对象也有类似的属性的思维方式。因此求解类比问题的关键在于确定类比物，建立类比项。然而不能把类比仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析。比如2001年的高考题：小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）（A）26（B）24（C）20（D）19这个问题比较陌生，如果把A看成是自来水总厂，B看成是某一用户的水龙头，那么从A分4路到达B，每一路管线中，水流量是由最细的管线所决定的，即是由最大流量的最小值决定的，否则会使水管暴烈的，自然的本题中的最大信息量为4条网路中网线单位时间内可以通过的最大信息量的最小值之和。化归和类比都是把陌生的问题转化为熟悉的问题，用已有的知识去探求未知知识领域的思维方式与策略。近年来，在高考试题中频频出现陌生的题目，往往要通过化归和类比的方法来解决。例1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是____分析：把正四面体补全为正方体，为正方体的顶点，那么正方体的边长为1，再把正方体内接于球（如图1），这样把正四面体内接于球问题转化为正方体内接于球问题，又球的直径正好是正方体的体对角线长，所以此球的表面积是。DCAOBDCAOB图1图2小结与反思：球的切接问题往往需要较高的空间想象能力，这就要把较难的问题化归为我们所常见的某个数学模型。类似的，一个四面体的相对的棱长相等，分别为，且四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是多少？设四面体，，，考虑到长方体的相对面中互相异面的两条对角线长相等，所以把四面体补全为长方体，为长方体的顶点，再把长方体内接于球（如图2），这样把四面体内接于球问题转化为长方体内接于球问题，球的直径正好是长方体的体对角线长。设长方体的棱长为，那么，得，所以球的半径，表面积。再如三棱锥的三条侧棱两两垂直，求外接球的表面积，我们同样可以补全为长芳体来解决。例2、已知锐角中，三个内角，两向量，，若与是共线向量。（1）求的大小；（2）求函数取最大值时，的大小。解：（1），化简得，得，是锐角三角形，。（2）所以当，。小结与反思：在解决三角函数的问题时，一般都要对三角函数式进行化简，这时要注意化归的目标，往往把三角函数式转化为的形式，从而可以解决有关最值，奇偶性、对称性、单调性等函数性质的问题。例3、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，异面直线所成的角，公垂线为，（1）求证：面（2）当，求四棱锥的体积。解：是异面直线的公垂线，，所以面（2）平面又所成的角，则CADBPFE所以小结与反思：有时几何体的体积难以直接求得时，我们往往把几何体分割成几个三棱锥，由于三棱锥的每一个面都可以当成底面，每个顶点都可以作为顶点，所以通常可以变换其顶点，使之底面积和高都比较容易求得。当然我们可以利用等底同高体积相等进行转化，等底同高转化模型有二（如图），①平面；②的中点在平面。都可以得到PABCQMABCPQCADBPFE另解（2）总之，棱锥的体积可以分割为若干个三棱锥或补全为棱柱来求解。例4、已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两...