高二数学向量法求空间角宁明镜确定空间角的大小是立体几何中一类重要题型，也是历年高考数学试题考查的重点。本文通过一些典型范例，介绍用空间向量确定空间角大小的基本方法。一、确定异面直线所成的角方法要点：设异面直线、所成的角为，分别是的方向向量，则。例1.（2007年北京卷）如图1，在中，，斜边AB=4。可以通过以直线AO为轴旋转得到，且二面角是直角二面角，D是AC中点。（I）求证：平面平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小。解：（I）证明：略。（II）以O为原点，OC、OB、OA分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，0，），C（2，0，0），D（0，1，），所以，设异面直线AO与CD所成的角为，则。所以异面直线AO与CD所成角的大小为。二、确定直线与平面所成的角方法要点：如图2，直线l与平面成角，是直线l的方向向量，平面的一个法向量，则例2.（2007年全国卷I）如图3，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD。已知∠ABC=45°，AB=2，。用心爱心专心（I）证明；（II）求直线SD与平面SAB所成角的大小。解：（I）证明：（略）（II）作垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD。所以。又因为SA=SB，所以AO=BO，即为等腰三角形，又∠ABC=45°，从而。以O为坐标原点，OA为x轴正方向，建立直角坐标系，则A（，0，0），B（0，，0），D（），S（0，0，1），则，。设与平面SAB垂直，则所以，取平面SAB的一个法向量为设直线SD与平面SAB所成的角为，则所以，直线SD与平面SAB所成的角为。说明：确定斜线的方向向量和平面的法向量时，无需考虑向量的方向。例3.（2007年浙江卷）在图4所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，且，M是AB的中点。（I）求证：；（II）求DE与平面EMC所成角的正切值。解：（I）证明：（略）（II）以点C为原点，CA、CB分别为x轴和y轴的正方向，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系，设则C（0，0，0），E（2a，0，a），D（0，2a，2a），M（a，a，0），所以。设向量与平面EMC垂直，则。所以，取平面SAB的一个法向量为。设DE与平面EMC所成的角为，则用心爱心专心三、确定平面与平面所成的角方法要点：如图5，向量分别是二面角的两个半平面的法向量，其中一个向量的方向指向内侧，另一个向量的方向指向外侧，则向量的夹角就是二面角的平面角，再由公式可确定。例4.如图6，在四棱锥中，底面ABCD，。求二面角的大小。解：由题意可知PA、AB、AD两两垂直。以点A为坐标原点，AB、AD分别为x轴和y轴的正方向，建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（），D（0，），P（0，0，a），所以，。设向量与平面PBC垂直，向量与平面PCD垂直，则则，令，得平面PBC与平面PCD的一个法向量分别为。设二面角的平面角为，则。用心爱心专心所以二面角的大小为。说明：确定平面PBC与平面PCD的法向量时，必须注意向量的方向。否则，求出的角度有可能是平面角的补角。用心爱心专心
