高三数学剖析高考中的恒成立问题VIP免费

剖析高考数学中的恒成立问题广东省湛江市坡头区第一中学范友玉新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析：一、函数性质法1、二次函数：①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例1(08年江西卷理12)．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（)A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)分析：与的函数类型，直接受参数的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。解析：当时，在上恒成立，而在上恒成立，显然不满足题意；(如图1)当时，在上递减且只在上恒成立，而是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，显然不满足题意。当时，在上递增且在上恒成立，而是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数，与的值至少有一个为正数则只需在上恒成立。(如图3)则有或解得或，综上可得即。故选B。图31oxy()gxfx图1()0gx1()81fxxxy0()fx1()gxmxxy0图2例2（09年江西卷文17）设函数．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值。（节选）解析：(1),对,,即在上恒成立,,得，即的最大值为。2、其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）.例3（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：恒成立，即，要解决此题关键是求，。解：（1）（2）略（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而.解得或.的取值范围为.例4（08天津文21）．设函数，其中．（Ⅲ）若对于任意的22a，，不等式在11，上恒成立，求b的取值范围．（节选）分析：，即，22a，，11，，要解决此题关键是求。解：（Ⅲ）322()434(434)fxxaxxxxax由条件22a，可知29640a，从而24340xax恒成立．当0x时，()0fx；当0x时，()0fx．因此函数()fx在11，上的最大值是(1)f与(1)f两者中的较大者．为使对任意22a，，不等式在11，上恒成立，当且仅当，即，即在22a，上恒成立．即，22a，所以，因此满足条件的b的取值范围是4∞，．例5（09年全国卷II文21）设函数，其中常数（II）若当时，恒成立，求的取值范围。（节选）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解：（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。；则由题意得.5.u.c.o.m即解得。二、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例6（07辽宁卷文科22)已知函数，，且对任意的实数均有，.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围.解析：(Ⅰ)，，而，恒成立.则由二次函数性质得，解得，，。（Ⅱ）.令，则即.由于，则有.解得.所以的取值范围为。例7(08安徽文科20)．已知函数，其中为实数．（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．（节选）分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。解析：由题设知“对都成立...