第2讲平面向量、复数1.(2017山东,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a=()A.1或-1B.或-C.-D.2.(2017广西三市第一次联考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角的余弦值为sin,则b·(2a-b)等于()A.2B.-1C.-6D.-183.已知复数z=1+ai(a∈R,i是虚数单位),=-+i,则a=()A.2B.-2C.±2D.-4.(2017贵州适应性考试)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=(2,3),若a+λb与c共线,则实数λ=()A.B.-C.D.-5.已知i为虚数单位,a∈R,若为纯虚数,则复数z=2a+i的模等于()A.B.C.D.6.(2017西安八校联考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是()A.-3B.-C.3D.7.(2017惠州第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形8.(2017课标全国Ⅰ,3,5分)设有下面四个命题:p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p49.已知向量(O为坐标原点)与关于x轴对称,j=(0,1),则满足不等式+j·≤0的点Z(x,y)的集合用阴影表示为()10.在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于H,记,分别为a,b,则=()A.a-bB.a+bC.-a+bD.-a-b11.(2017宝鸡质量检测(一))在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足||=,则·的取值范围为()A.B.C.D.12.如图,已知点D为△ABC的边BC上一点,=3,En(n∈N*)为边AC上的动点,满足=an+1-(3an+2)·.实数列{an}中,an>0,a1=1,则{an}的通项公式为an=()A.3·2n-1-2B.2n-1C.3n-2D.2·3n-1-113.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.14.在△ABC中,已知向量=(2,2),||=2,·=-4,则△ABC的面积为.15.已知向量a=(1,),b=(0,t2+1),则当t∈[-,2]时,的取值范围是.16.(2017长沙统一模拟考试)平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P是平行四边形ABCD内一点,且AP=1,若=x+y,则3x+2y的最大值为.答案精解精析1.A∵z=a+i,∴=a-i,又∵z·=4,∴(a+i)(a-i)=4,∴a2+3=4,∴a2=1,∴a=±1.故选A.2.D∵a与b的夹角的余弦值为sin=-,∴a·b=-3,b·(2a-b)=2a·b-b2=-18.3.B由题意可得=-+i,即==-+i,∴=-,=,∴a=-2,故选B.4.B解法一:a+λb=(2-λ,4+λ),c=(2,3),因为a+λb与c共线,所以必定存在唯一实数μ,使得a+λb=μc,所以解得解法二:a+λb=(2-λ,4+λ),c=(2,3),由a+λb与c共线可知3(2-λ)=2(4+λ),得λ=-.5.C由题意可设=ti,t≠0,∴2-i=-t+tai,∴解得∴z=2a+i=1+i,∴|z|=,故选C.6.A依题意得,=(-2,-1),=(5,5),·=(-2,-1)·(5,5)=-15,||=,因此向量在方向上的投影是==-3,故选A.7.A(-)·(+-2)=0,即·(+)=0,∵-=,∴(-)·(+)=0,即||=||,∴△ABC是等腰三角形,故选A.8.B对于命题p1,设z=a+bi(a,b∈R),由==∈R,得b=0,则z∈R成立,故命题p1正确;对于命题p2,设z=a+bi(a,b∈R),由z2=(a2-b2)+2abi∈R,得a·b=0,则a=0或b=0,复数z可能为实数或纯虚数,故命题p2错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),由z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R,得ad+bc=0,不一定有z1=,故命题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,b∈R),则由z∈R,得b=0,所以=a∈R成立,故命题p4正确.故选B.9.C由题意得=(x,y),=(x,-y),=(0,-2y),所以+j·=x2+(y-1)2-1≤0,即x2+(y-1)2≤1,点Z(x,y)的集合用阴影表示即圆心为(0,1),半径为1的圆的内部(包含边界),选C.10.B如图,过点F作BC的平行线交DE于G,则G是DE的中点,且==,∴=,易知△AHD∽△FHG,从而=,∴=,=+=b+a,∴=(b+a)=a+b,故选B.11.C不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,则B(0,0),A(0,2),C(2,0),线段AC的方程为x+y-2=0(0≤x≤2).设M(a,2-a),N(a+1,1-a)(由题意可知0
