第2讲平面向量与复数时间:30分钟分值:80分1.(2017湖北武汉四月调研)复数=()A.B.C.D.2.(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)3.(2017湖南湘中名校联考)已知向量a=(x,),b=(x,-),若(2a+b)⊥b,则|a|=()A.1B.C.D.24.(2017山东,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a=()A.1或-1B.或-C.-D.5.(2017湖南长沙四校第二次模拟)已知向量a,b,c满足|a|=1,c=a+b,c⊥a,则a·b=()A.-2B.-1C.1D.26.(2017福建八校适应性考试)已知向量a=(2,a+3),b=(2,-a),若|a+b|=|a-b|,则实数a的值为()A.4B.-4或1C.-1D.4或17.(2017贵州适应性考试)已知向量e1与e2不共线,且向量=e1+me2,=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是()A.mn=1B.mn=-1C.m+n=1D.m+n=-18.△ABC中,若=2,=+λ,则λ等于()A.B.C.-D.-9.(2017陕西西安八校联考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是()A.-3B.-C.3D.10.(2017吉林长春质量检测(二))在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=()A.B.C.D.11.(2017广东惠州第三次调研)若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形12.(2017山西太原模拟)已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是()A.B.C.D.13.已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.14.(2017安徽合肥模拟)已知向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)∥(3a-b),则实数k=.15.(2017湖南五市十校联考)△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为.16.已知菱形ABCD的边长为6,∠ABD=30°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=λCF.若·=-9,则λ的值为.答案精解精析1.A====.2.B∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,∴∴a<-1.故选B.3.D因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,即(3x,)·(x,-)=3x2-3=0,解得x=±1,所以a=(±1,),则|a|==2,故选D.4.A∵z=a+i,∴=a-i,又∵z·=4,∴(a+i)(a-i)=4,∴a2+3=4,∴a2=1,∴a=±1.故选A.5.B由c⊥a得c·a=0,又c=a+b,∴c·a=(a+b)·a=a2+a·b=1+a·b=0,∴a·b=-1,故选B.6.B将|a+b|=|a-b|两边平方得a·b=0,将已知代入得4-a(a+3)=0,即a2+3a-4=0,解得a=-4或1,故选B.7.A解法一:因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得=λ,所以有e1+me2=nλe1+λe2,由此可得所以mn=1.解法二:因为A,B,C三点共线,所以必有=,所以mn=1.8.A由=2知,D在AB上,如图所示,过点D分别作AC,BC的平行线,分别交BC,AC于点F,E,∴=+.∵=2,∴=,=,故=+,∴λ=.9.A依题意得,=(-2,-1),=(5,5),则·=(-2,-1)·(5,5)=-15,||=,因此向量在方向上的投影是==-3,故选A.10.B如图,由已知得,点D在△ABC中与AB平行的中位线上,且在靠近BC边的三等分点处,从而有S△ABD=S△ABC,S△ACD=S△ABC,S△BCD=S△ABC=S△ABC,所以=.11.C(-)·(+-2)=0,即·(+)=0,∵-=,∴(-)·(+)=0,∴=,即||=||,∴△ABC是等腰三角形,故选C.12.D由题意,知P,B,C三点共线,则存在实数λ使=λ,所以-=λ(-),所以=-λ+(λ+1),则所以x+y=1且≤x≤,于是xy=x(1-x)=-+,所以当x=时,xy取得最大值;当x=或x=时,xy取得最小值,所以xy的取值范围为,故选D.13.答案-2解析因为=为实数,所以-=0,解得a=-2.14.答案-6解析a+2b=(-3,3+2k),3a-b=(5,9-k),由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.15.答案120°解析解法一:设向量a,b的夹角为θ.=-=2a+b-2a=b,∴||=|b|=2,又2|a|=2,∴|a|=1,又=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=8+8cosθ=4,∴cosθ=-,又0°≤θ≤180°,∴θ=120°.解法二:=-=2a+b-2a=b,则向量a,b的夹角为向量与的夹角,为120°,即向量a,b的夹角为120°.16.答案3解析依题意得=+=-,=+,因此·=·=-+·,于是有×62+×62×cos60°=-9,由此解得λ=3(经检验,符合题意).
