开卷速查(六十九)离散型随机变量的均值与方差、正态分布A级基础巩固练1．[2015·安徽]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)。解析：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝。(2)X的可能取值为200,300,400。P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝。故X的分布列为X200300400PE(X)＝200×＋300×＋400×＝350。2．[2015·四川]某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训。由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队。(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛。设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望。解析：(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名。代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝。因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝。(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3。P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝。所以X的分布列为X123P因此，X的数学期望为E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝2。B级能力提升练3．[2015·北京]A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a。假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙。(1)求甲的康复时间不少于14天的概率。(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解析：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7。由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7。(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝。(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”。由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6。因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝。(3)a＝11或a＝18。4．[2015·广东]某工厂36名工人的年龄数据如下表。(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解析：(1)由系统抽样的知识可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，故所有样本数据的编号为4n－2，n＝1,2，…，9。其数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37。(2)＝＝40。由方差公式知，s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝。(3)因为s2＝，所以s＝∈(3,4)，所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数等于在区间[37,43]内的人数，即40,40,41，…，39，共23人。所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数所占的百分比为≈63.89%。
