【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第五章数列5.5数列的综合问题模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2016·成都诊断]设曲线y＝2014xn＋1(n∈N*)在点(1，2014)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝log2014xn，则a1＋a2＋…＋a2013的值为()A．2014B．2013C．1D．－1解析：∵y′＝2014(n＋1)xn，故曲线在点(1,2014)处的切线方程是y－2014＝2014(n＋1)(x－1)，∴xn＝。∴a1＋a2＋…＋a2013＝log2014(x1x2…x2013)＝log2014＝log2014＝－1。答案：D2．[2016·福州质检]已知函数f(x)＝x2－ax的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线x＋3y＋2＝0垂直，若数列的前n项和为Sn，则S2015的值为()A.B.C.D.解析：由题意f′(1)＝2－a＝3，∴a＝－1，∴f(n)＝n2＋n，故数列的通项公式＝＝－，∴S2015＝＋＋…＋－＝1－＝。答案：A3．[2016·兰州模拟]如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x＋(x＞0)的图象上。若点Bn的坐标(n,0)(n≥2，n∈N*)，记矩形AnBnCnCn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝()A．208B．216C．212D．220解析：由点Bn的坐标(n,0)(n≥2，n∈N*)，得Cn，令x＋＝n＋，即x2－x＋1＝0，解得x＝n或x＝，所以Dn，所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2＋2＝4n，所以a2＋a3＋…＋a10＝8＋12＋16＋…＋40＝216。答案：B4．[2016·石景山模拟]对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.3]＝0，[5.6]＝5。若n∈N*，an＝，Sn为数列{an}的前n项和，则S8＝________；S4n＝________。解析：因为an＝，所以当n＝1,2,3时an＝0；当n＝4,5,6,7时，an＝1；当n＝8,9,10,11时，an＝2；…；当n＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3时，an＝n，所以S8＝3×0＋4×1＋2＝6。S4n＝3×0＋4[1＋2＋…＋(n－1)]＋n＝4×＋n＝2n2－n。答案：62n2－n5．[2016·潍坊模拟]现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________。解析：设对应的数列为{an}，公差为d，(d＞0)。由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114得3an－1＝114，解得an－1＝38，即(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16。答案：16
