开卷速查(三十)等比数列及其前n项和A级基础巩固练1．[2016·南昌模拟]等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24。答案：A2．[2016·福州模拟]已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为()A.B．－C.D．－解析：当n＝1时，a1＝S1＝x－，①当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝x·(3n－1－3n－2)＝2x·3n－2，因为{an}是等比数列，所以a1＝＝＝，②由①②得x－＝，解得x＝。答案：C3．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是()A．－2B．－C．±D.解析：根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4＜0，a3a7＞0，所以a3＜0，a7＜0，即a5＜0，由a3a7＝a，所以a5＝－＝－。答案：B4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析： ∴由①除以②可得＝2，解得q＝，代入①得a1＝2，∴an＝2×n－1＝，∴Sn＝＝4，∴＝＝2n－1，选D。答案：D5．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35解析：由题意可知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18得a5a6＝a4a7＝9，而log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10。答案：B6．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为()A．16B．8C．2D．4解析：由题意知a4＞0，a14＞0，a4·a14＝8，a7＞0，a11＞0，则2a7＋a11≥2＝2＝2＝8，当且仅当即a7＝2，a11＝4时取等号，故2a7＋a11的最小值为8，故选B。答案：B7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是__________。解析：设公比为q，则由a8＝a6＋2a4，得a1q7＝a1q5＋2a1q3，q4－q2－2＝0，解得q2＝2(q2＝－1舍去)，所以a6＝a2q4＝4。答案：48．[2014·广东]等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝__________。解析：由等比数列的性质可知a1a5＝a2a4＝a，于是，由a1a5＝4得a3＝2，故a1a2a3a4a5＝32，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log232＝5。答案：59．[2015·徐州模拟]若等比数列{an}满足：a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________。解析：由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，得即解得q＝2，a1＝2，所以Sn＝＝＝2n＋1－2。答案：22n＋1－210．[2015·湖北]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q。已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100。(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn。解析：(1)由题意有，即解得或故或(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋。②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－。B级能力提升练11．已知数列{an}是首项为a1，公差为d(0＜d＜2π)的等差数列，若数列{cosan}是等比数列，则其公比为()A．1B．－1C．±1D．2解析：因为数列{cosan}是等比数列，所以cos2(a1＋d)＝cosa1·cos(a1＋2d)，cos2(a1＋d)＝cos(a1＋d－d)·cos(a1＋d＋d)＝cos2(a1＋d)cos2d－sin2(a1＋d)sin2d，所以sin2d[cos2(a1＋d)＋sin2(a1＋d)]＝0，所以sin2d＝0，sind＝0，因为0＜d＜2π，所以d＝π。公比q＝＝＝－1。答案：B12．已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm解析： {an}是等比数列，∴＝qmn＋m－m(n－1)－m＝qm，∴＝＝(qm)m＝qm2。答案：C13．[2016·天津模拟]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1,2S2,3S3成等差数列，且S4＝。(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：Sn＜...
