开卷速查(二十九)等差数列及其前n项和A级基础巩固练1．[2014·福建]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C。答案：C2．[2016·吉林模拟]等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，…)，当首项a1和公差d变化时，若a5＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中为定值的是()A．S17B．S18C．S15D．S16解析：由等差数列的性质得：a5＋a11＝2a8，所以a5＋a8＋a11为定值，即a8为定值。又因为S15＝＝＝15a8，所以S15为定值。故选C。答案：C3．[2016·大连模拟]下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列。其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析：如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a1＝2×a2，故p2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则＝1，故p3是假命题。故选D项。答案：D4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64解析：由题意可知2a8＝a7＋a9＝16⇒a8＝8，S11＝＝＝11a6＝，a6＝，则d＝＝，所以a12＝a8＋4d＝15，故选A。答案：A5．[2016·马鞍山模拟]等差数列{an}中，“a1＜a3”是“an＜an＋1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：等差数列中，由a1＜a3，可知公差d＞0，所以an＋1＝an＋d＞an，即an＜an＋1。反过来，由an＜an＋1，可知公差d＞0，所以a3＝a1＋2d＞a1，即a1＜a3。等差数列{an}中，“a1＜a3”是“an＜an＋1”的充分必要条件。答案：C6．在递减等差数列{an}中，若a1＋a5＝0，则Sn取最大值时n等于()A．2B．3C．4D．2或3解析： a1＋a5＝2a3＝0，∴a3＝0， d＜0，∴{an}的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故Sn取最大值时n等于2或3，选D。1答案：D7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝__________。解析：由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，又Sk＋1＝＝＝－，解得k＝13。答案：138．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是__________。解析：方法一：S9＝9a1＋36d，又依据线性规划知识，得－3＜S9＜21。方法二：S9＝9a1＋36d＝x(a1＋2d)＋y(a1＋5d)，由待定系数法得x＝3，y＝6。因为－3＜3a3＜3,0＜6a6＜18，两式相加即得－3＜S9＜21。方法三：a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3，a6＋a7＋a8＋a9＝2a6＋2a9，而a3＋a9＝2a6，所以S9＝3a3＋6a6，又－1＜a3＜1,0＜a6＜3，依据线性规划知识，得－3＜S9＜21。答案：(－3,21)9．等差数列{an}的通项公式为an＝2n－8，下列四个命题：α1：数列{an}是递增数列；α2：数列{nan}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a}是递增数列。其中为真命题的是__________。解析：由公差d＝2＞0，知数列{an}是递增数列，所以α1为真命题；因为nan＝n(2n－8)，对称轴为n＝2，则数列{nan}先减后增，所以α2为假命题；因为＝2－，故数列{}是递增数列，所以α3为真命题；因为a＝(2n－8)2，对称轴为n＝4，则数列{a}先减后增，所以α4为假命题。答案：α1，α310．[2015·成都模拟]数列{an}中，a1＝－23，an＋1－an－3＝0。(1)求数列的前n项和Sn。(2)求使得数列{Sn}是递增数列的n的取值范围。解析：(1)因为an＋1－an－3＝0，所以an＋1－an＝3，即数列{an}是等差数列，公差d＝3。又a1＝－23，所以数列{an}的前n项和为Sn＝－23n＋n(n－1)·3，即Sn＝n2－n。(2)Sn＝n2－n的对应函数为f(x)＝x2－x，它的图象是一条抛物线，其开口方向向上，对称轴为x＝。当x≥时，函数f(x)是增函数。因为8＜＜9，且－8＜9－，所以f(8)＜f(9)。综上，可知使得数列{Sn}是递增数列的n的取值范围是{n|n≥8，n∈N*}。B级能力提升练11．[2016·唐山模拟]在等差数列{an}中，a1＝－2015，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2015的值等于()A．－2015B．－2014C．－2013D．－2012解析：设等差数列{an}的公差为d，因为－＝2，根据等差数列的性质...
