开卷速查(二十二)正弦定理和余弦定理A级基础巩固练1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB等于()A.B.C.D．1解析：根据正弦定理，＝，则sinB＝sinA＝×＝，故选B。答案：B2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。若∠B＝2∠A，a＝1，b＝，则c＝()A．2B．2C.D．1解析：由正弦定理＝得：＝，又 ∠B＝2∠A，∴＝＝。∴cosA＝， ∠A∈(0°，180°)，∴∠A＝30°。∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴c＝＝2。答案：B3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝()A.B.C.D.解析：根据正弦定理：asinBcosC＋csinBcosA＝b等价于sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝。又a＞b，∴∠A＋∠C＝，∴∠B＝。故选A项。答案：A4．[2016·临沂模拟]在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，则△ABC是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：因为sinBsinC＝cos2＝，所以2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)＝1－cosBcosC＋sinBsinC，即cosBcosC＋sinBsinC＝1，所以cos(B－C)＝1。因为角B，C是△ABC的内角，所以∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C，又因为sin2B＋sin2C＝sin2A，即b2＋c2＝a2。所以∠A＝90°，故△ABC为等腰直角三角形。答案：D5．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B.C．2D．5解析：由题意可得AB·BC·sinB＝，又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，所以B＝45°或B＝135°。当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去。所以B＝135°。由余弦定理可得AC＝＝。答案：B6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c。若3a＝2b，则的值为()A．－B.C．1D.解析：由正弦定理可得＝22－1＝22－1，因为3a＝2b，所以＝。所以＝2×2－1＝。答案：D7．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于__________。解析：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为∠B∈(0°，180°)，所以∠B＝90°，所以AB＝＝1。答案：18．[2014·湖北]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知∠A＝，a＝1，b＝，则∠B＝__________。解析：由正弦定理＝得sinB＝＝，又∠B∈，所以∠B＝或。答案：或9．[2014·北京]在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝__________；sinA＝__________。解析：根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×＝4，故c＝2，因为cosC＝，所以sinC＝＝，由正弦定理，sinA＝＝＝(或：由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝＝，所以，sinA＝＝)。答案：210．[2015·安徽]在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长。解析：设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3。又由正弦定理得sinB＝＝＝，由题设知0＜∠B＜，所以cosB＝＝＝。在△ABD中，由正弦定理得AD＝＝＝＝。B级能力提升练11．[2015·课标Ⅱ]△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍。(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长。解析：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD。因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC。由正弦定理可得＝＝。(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝。在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC。故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6。由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1。12．[2015·山东]设f(x)＝sinxcosx－cos2。(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。若f＝0，a＝1。求△ABC面积的最大值。解析：(1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin2x－。由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z。所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)。(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝。由题意知∠A为锐角，所以cosA＝。由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，且...
