开卷速查(四十五)空间向量及其运算A级基础巩固练1．有下列4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB。其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①正确。②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立。③正确。④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP＝xMA＋yMB不正确。答案：B2．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析：如图，选取不共面的向量AB，AC，AD为基底，则原式＝AB·(AD－AC)＋AC·(AB－AD)＋AD·(AC－AB)＝AB·AD－AB·AC＋AC·AB－AC·AD＋AD·AC－AD·AB＝0。答案：B3．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于()A．5B．6C．4D．8解析：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AC1＝a＋b＋c，AC12＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC1|＝5。答案：A4．平行六面体ABCDA′B′C′D′中，若\a\vs4\al(AC′)＝xAB＋2yBC－3zCC′，则x＋y＋z＝()A．1B.C.D.解析：AC′＝AC＋CC′＝AD＋AB＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝xAB＋2yBC－3zCC′，故x＝1，y＝，z＝－，∴x＋y＋z＝1＋－＝。答案：B5．若A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析： M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)。∴AM·AD＝(AB＋AC)·AD＝AB·AD＋AC·AD＝0。∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形。答案：C6．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，－，4B.，－，4C.，－2,4D．4，，－15解析： AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4。又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，BC＝(3,1,4)，则解得答案：B7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝__________。解析：由已知得＝＝，∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝。答案：－2或8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为__________。解析：b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝，∴当t＝时，|b－a|取得最小值。答案：9．如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF＝λ(AB＋DC)，则λ＝________。解析：如图所示，取AC的中点G，连接EG、GF，则EF＝EG＋GF＝(AB＋DC)，∴λ＝。答案：10．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D。证明：(1)CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1，可以证明：CG＝(CB＋CD＋CC1)＝CA1，∴CG∥CA1，即A1，G，C三点共线。(2)设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0， CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，因此CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C⊥平面BC1D。B级能力提升练11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N。设M(x，y，z)。 点M在AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝a，y＝，z＝，得M，∴|MN|＝＝a。答案：A12．[2016·衡水模拟]如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°。(1)求向量OD的坐标；(2)设向量AD和BC的夹角为θ，求cosθ的值。解析：(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝。所以DE＝CD·sin30°＝，OE＝OB－BD·cos60°＝1－＝。所以D点坐标为，即向量OD的坐标为。(2)依题意知，OA＝，OB＝(0，－1,0)，OC＝(0,1,0)。所以AD＝OD－OA＝，BC＝OC－OB＝(0,2,0)。则cosθ＝＝＝＝－。13．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其...
