【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第七章立体几何7.7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2016·海口调研]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E，∴CE＝，AC＝(1,1,0)，BD＝(－1,1,0)，A1D＝(0,1，－1)，A1A＝(0,0，－1)。显然CE·BD＝－＋0＝0，∴CE⊥BD，即CE⊥BD。答案：B2．[2016·泰安检测]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，NO＝(－1,0，－2)，AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直。答案：C3．[2016·华安六校联考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析：∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴MB＝A1B，CN＝CA，∴MN＝MB＋BC＋CN＝A1B＋BC＋CA＝(A1B1＋B1B)＋BC＋(CD＋DA)＝B1B＋B1C1。又∵CD是平面B1BCC1的法向量，且MN·CD＝·CD＝0，∴MN⊥CD，∴MN∥平面B1BCC1。答案：B4．[2016·苏州调研]如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1。求证：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D。证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)。(1)由于BC1＝(0，－2，－2)，AB1＝(－2,2，－2)，所以BC1·AB1＝0－4＋4＝0，因此BC1⊥AB1，故BC1⊥AB1。(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以ED＝(0,1,1)，又BC1＝(0，－2，－2)，所以ED＝－BC1，又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D。
