【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2015·山东]已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C．2πD．4π解析：由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为、高为的圆锥的组合体，其体积为2××π×()2×＝π。答案：B2．[2015·课标Ⅱ]已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π解析：三棱锥VO－ABC＝VC－OAB＝S△OAB×h，其中h为点C到平面OAB的距离，而底面三角形OAB是直角三角形，顶点C到底面OAB的最大距离是球的半径，故VO－ABC＝VC－OAB＝××R3＝36，其中R为球O的半径，所以R＝6，所以球O的表面积S＝4πR2＝144π。答案：C3．[2015·课标Ⅰ]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈，所以米堆的体积V＝×πr2h＝××5＝，所以堆放的米有÷1.62≈22斛，故选B。答案：B4．[2015·湖南]某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)()A.B.C.D.解析：方法一：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x，高为h，则由三角形相似可得，＝，所以h＝2－2x，x∈(0,1)，长方体体积为V长方体＝(x)2h＝2x2(2－2x)≤23＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号，V圆锥＝π×12×2＝，故材料利用率为＝，选A。方法二：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x，高为h，则由三角形相似可得，＝，所以h＝2－2x，x∈(0,1)，长方体体积为V长方体＝(x)2h＝2x2(2－2x)＝－4x3＋4x2，令V′长方体＝－12x2＋8x＝0，得x＝，在递增递减，故当x＝时，(V长方体)max＝，V圆锥＝π×12×2＝，故材料利用率为＝，选A。答案：A5．[2015·江苏]现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为__________。解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为π×52×4＋π×22×8＝。设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则π×r2×4＋π×r2×8＝r2＝，解得r＝。答案：
