第四节数列求和A组基础题组1.数列{an}的通项公式是an=,前n项和为9,则n等于()A.9B.99C.10D.1002.已知数列{an}满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2016项的和等于()A.1509B.3018C.1512D.20163.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为()A.2500B.2600C.2700D.28004.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn=()A.6n-n2B.n2-6n+18C.D.5.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=,S5=.6.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3n+k.(1)求k的值及数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足n=anbn,求数列{bn}的前n项和Tn.9.正项数列{an}的前n项和Sn满足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<.1B组提升题组10.在数列{an}中,an=,若{an}的前n项和Sn=,则n=()A.3B.4C.5D.611.数列{an}的通项公式为an=ncos,其前n项和为Sn,则S2015等于()A.1002B.-1004C.1006D.-100812.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2Sn-1=n,则S2015的值为()A.2015B.2013C.1008D.100713.(2016江西八校联考)在数列{an}中,已知a1=1,an+1+(-1)nan=cos[(n+1)π],记Sn为数列{an}的前n项和,则S2015=.14.(2017安徽师大附中模拟)用[x]表示不超过x的最大整数,例如[3]=3,[1.2]=1,[-1.3]=-2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=+an,则=.15.在数列{an}中,a2=4,a3=15,若Sn为{an}的前n项和,且数列{an+n}是等比数列,则Sn=.16.(2015安徽,18,12分)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.17.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.23答案全解全析A组基础题组1.B an==-,∴Sn=a1+a2+…+an=(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1,令-1=9,得n=99,故选B.2.C因为a1=,an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,……,可得an=故数列的前2016项的和S2016=1008×=1512.3.B当n为奇数时,an+2-an=0a⇒n=1,当n为偶数时,an+2-an=2a⇒n=n,故an=于是S100=50+=2600.4.C由Sn=n2-6n知{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2.∴an=-5+(n-1)×2=2n-7,∴n≤3时,an<0;n>3时,an>0,易得Tn=5.答案1;121解析由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,则Sn+1+=3,又S1+=,∴是首项为,公比为3的等比数列,∴Sn+=×3n-1,即Sn=,∴S5==121.46.答案-解析 an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴-=1,∴是等差数列,且公差为-1,而==-1,∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-.7.答案2n+1-2解析由题意知an+1-an=2n,∴当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n,又a1=2满足上式,∴an=2n(n∈N*),∴Sn==2n+1-2.8.解析(1)当n≥2时,由an=Sn-Sn-1=3n+k-3n-1-k=2·3n-1,得等比数列{an}的公比q=3,首项为2.∴a1=S1=3+k=2,数列{an}的通项公式为an=2·3n-1,∴k=-1.(2)由n=anbn,可得bn=,即bn=·.∴Tn=×,∴Tn=×,∴Tn=×,∴Tn=×.59.解析(1)由-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)]·(Sn+1)=0.由于{an}是正项数列,所以Sn>0,Sn=n2+n.于是a1=S1=2,n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.a1=2适合上式,故数列{an}的通项公式为an=2n.(2)证明:由于an=2n,bn=,所以bn==×-.所以Tn=×1-+-+-+…+-+-=×<×1+=.B组提升题组10.D由an==1-得Sn=n-=n-,Sn==n-,将各选项中的值代入验证得n=6.11.D由题意得a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,a9=0,a10=-10,……,所以数列{an}的奇数项都为0,a2,a6,a10,…是以-2为首项,-4为公差的等差数列,a4,a8,…是以4为首项,4为公差的等差数列,所以S2015=1008×0+(-2)×504+×(-4)+4×503+×4=-1008.12.Cn≥2时,an+2Sn-1=n,∴an+1+2Sn=n+1,两式相减整理得,an+1+an=1(n≥2)①,n=2时,a2+2a1=2,又a1=1,∴a2=0,∴a2+a1=1,...
