第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.(2016青岛模拟)在等差数列{an}中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是()A.24B.48C.96D.无法确定2.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为()A.14B.15C.16D.173.(2016淄博模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-am
0且Sm+1<0B.Sm<0且Sm+1>0C.Sm>0且Sm+1>0D.Sm<0且Sm+1<04.数列{an}的前n项和Sn=2n2+3n(n∈N*),若p-q=5,则ap-aq=()A.10B.15C.-5D.205.设数列{an}的前n项和为Sn,若为常数,则称数列{an}为“吉祥数列”.已知等差数列{bn}的首项为1,公差不为0,若数列{bn}为“吉祥数列”,则数列{bn}的通项公式为()A.bn=n-1B.bn=2n-1C.bn=n+1D.bn=2n+16.在等差数列{an}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=.7.等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn中最大的为.8.(2016福建莆田期中)如果数列{an}满足a1=2,a2=1,且=(n≥2),则这个数列的第10项等于.9.(2016威海模拟)已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=+an(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{an}的通项公式.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数,(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.B组提升题组11.(2016德州模拟)已知正项数列{an}的前n项的乘积Tn=(n∈N*),bn=log2an,则数列{bn}的前n项和Sn中最大的是()A.S6B.S5C.S4D.S312.已知等差数列{an}的公差d>0,若a1+a2+…+a2017=2017am(m∈N*),则m=.13.(2016四川成都一诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则·的最大值为.14.(2016安徽安庆二模)已知数列{an}是各项均不为零的等差数列,Sn为其前n项和,且an=(n∈N*).若不等式≤对任意n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为.15.已知数列{an}是等差数列,bn=-.(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)若a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k为常数),求数列{bn}的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{bn}的前n项和为Sn,是否存在实数k,使Sn当且仅当n=12时取得最大值?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.16.已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列;(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn},求{bn}的前n项和Sn.答案全解全析A组基础题组1.B由等差数列的通项公式知,a2+a12=2a1+12d=2(a1+6d)=32,所以a1+6d=16,所以2a3+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=48.2.C设等差数列{an}的公差为d, a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,a8=24,∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16.3.A由题意知,a1+am>0,a1+am+1<0,得Sm=>0,Sm+1=<0.4.D解法一:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+3n-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1,当n=1时,a1=S1=5,符合上式,∴an=4n+1,∴ap-aq=4(p-q)=20.解法二:由题意可知{an}为等差数列,且公差d=2×2=4,∴ap-aq=d(p-q)=20.5.B设等差数列{bn}的公差为d(d≠0),=k,因为b1=1,则n+n(n-1)d=k,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=.所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1.6.答案10解析S100=(a1+a100)=45,a1+a100=0.9,a1+a99=a1+a100-d=0.4,则a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×0.4=10.7.答案S5解析 ∴∴Sn中最大的为S5.8.答案解析 =(n≥2),∴an=(n≥2),∴=+(n≥2),∴为等差数列.∴公差d=-=1-=,∴=+9×=5,∴a10=.9.解析(1)已知{an}是正项数列,由Sn=+an(n∈N*),可得a1=+a1,解得a1=1;S2=a1+a2=+a2,解得a2=2;同理,a3=3,a4=4.(2)Sn=+an,①当n≥2时,Sn-1=+an-1,②①-②化简得(an-an-1-1)(an+an-1)=0(n≥2),又{an}为正项数列,∴an-an-1=1(n≥2).由(1)知a1=1,故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.10.解析(1)证明:由题设anan+1=λSn-1,知an+1an+2=λSn+1-1.两式相减可得an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.此时an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}(n∈N*)是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;{a2n}(n∈N*)是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·...
