第一节数列的概念及简单表示法A组基础题组1.数列1,,,,,…的一个通项公式是()A.an=B.an=C.an=D.an=2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则a2+a18=()A.36B.35C.34D.333.数列{an}定义如下:a1=1,当n≥2时,an=若an=,则n的值为()A.7B.8C.9D.104.数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=()A.B.C.D.5.数列{an}中,an=,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()A.a1,a50B.a1,a44C.a45,a44D.a45,a506.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=.7.已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),则an=.8.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.9.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=+an(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{an}的通项公式.B组提升题组10.在各项均为正数的数列{an}中,对任意的m,n∈N*,都有am+n=am·an.若a6=64,则a9=()A.256B.510C.512D.102411.在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的个位数,则a2015=()A.8B.6C.4D.212.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=()A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn13.已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是.14.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.15.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;(2)对任意的n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B数列可写成,,,…,故通项公式可写为an=.故选B.2.C当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3;当n=1时,a1=S1=-1,适合上式,所以an=2n-3(n∈N*),所以a2+a18=34.3.C因为a1=1,所以a2=1+a1=2,a3==,a4=1+a2=3,a5==,a6=1+a3=,a7==,a8=1+a4=4,a9==,所以n=9,选C.4.A解法一:令n=2,3,4,5,分别求出a2=4,a3=,a4=,a5=,∴a3+a5=.解法二:当n≥2时,a1·a2·a3·…·an=n2.当n≥3时,a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2.两式相除得an=(n≥2,n∈N*),∴a3=,a5=,∴a3+a5=.5.Can==1+,当n∈[1,44],n∈N*时,{an}单调递减,当n∈[45,+∞),n∈N*时,{an}单调递减,结合函数f(x)=的图象可知,(an)max=a45,(an)min=a44.6.答案(-2)n-1解析由Sn=an+得,当n≥2时,Sn-1=an-1+,∴当n≥2时,an=-2an-1,即=-2,又n=1时,S1=a1=a1+,a1=1,∴an=(-2)n-1.7.答案n2+1解析由an+1-an=2n+1得an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-3,……,a3-a2=5,a2-a1=3,则n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2+3+5+7+…+(2n-3)+(2n-1)=2+=n2+1,又a1=2满足上式,∴an=n2+1.8.解析(1)由题意得a2=,a3=.(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以=.故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.9.解析(1)由题意知解得(2)Sn=+an,①当n≥2时,Sn-1=+an-1,②①-②整理得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,又由(1)知a1=1,故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.B组提升题组10.C由题意得a6=a3·a3=64,∵an>0,∴a3=8.∴a9=a6·a3=64×8=512.11.D由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2015=a335×6+5=a5=2.12.A由已知,得an+1-an=ln,∴an-an-1=ln,an-1-an-2=ln,……,a2-a1=ln,将以上(n-1)个式子累加,得an-a1=ln+ln+…+ln=ln=lnn(n≥2),∴an=2+lnn(n≥2).又a1=2满足上式,∴an=2+lnn.故选A.13.答案(-3,+∞)解析∵对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ.又∵{an}是递增数列,∴an+1-an>0,且当n=1时,an+1-an最小,∴an+1-an≥a2-a1=3+λ>0,∴λ>-3.14.解析(1)依题意得Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn,又b1=S1-3=a-3,因此,所求通项公式为bn=(a-3)2n-1,n∈N*.(2)由(1)可知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)·2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2,所以,当n≥2时,an+1≥an12⇒+a-3≥0a≥-9,⇒又a2=a1+3>a1,a≠3.所以,所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).15.解析(1)由n2-5n+4<0,解得1an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4可看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,即k>-3.所以实数k的取值范围为(-3,+∞).
