第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向2.(2016武汉武昌调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于()A.B.2C.3D.43.如图,已知AB是圆O的直径,点C、D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b4.(2016日照模拟)在△ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a+b=0,则△ABC的形状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形5.下列四个结论:①++=0;②+++=0;③-+-=0;④++-=0,其中正确的结论个数是()A.1B.2C.3D.46.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则四边形ABCD的形状为.7.(2016内蒙古包头九中期中)如图,在△ABC中,AH⊥BC于H,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.8.如图,在梯形ABCD中,=2,M,N分别是DC,AB的中点.若=e1,=e2,用e1,e2表示,,.9.设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线;(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.B组提升题组10.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值为()A.-B.-2C.2D.11.(2017甘肃兰州二中月考)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心12.△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是.13.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是.14.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.15.已知P为△ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a、b表示向量、.16.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.(1)用a,b表示向量,,,,;(2)求证:B,E,F三点共线.答案全解全析A组基础题组1.D∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),即ka+b=λ(a-b),∴∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.2.D+++=(+)+(+)=2+2=4.故选D.3.D连接CD,由点C、D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,所以=+=b+a.4.A如图,由c+a+b=0知,c(-)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而与为不共线向量,∴a-c=c-b=0,∴a=b=c,故△ABC是等边三角形.5.C①++=+=0,①正确;②+++=++=,②错;③-+-=++=+=0,③正确;④++-=+=0,④正确.故①③④正确.6.答案矩形解析如图,+=,-=,所以||=||.由对角线相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.7.答案解析设=x,∵=(+)=[+x(-)]=[(1+x)-x],且=λ+μ,∴1+x=2λ,-x=2μ,∴λ+μ=.8.解析==e1;=+=-+=+-=-=e2-e1;=++=--+=-=e1-e2.9.解析(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为=2e1-8e2,所以=2,又与有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)由(1)知=e1-4e2,又因为B,D,F三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,所以3e1-ke2=λe1-4λe2,得解得k=12.B组提升题组10.B易知==,∴EF=EB,∴==(+)==+=-,∴m=,n=-,∴=-2.11.B由=+λ,知-=λ,即=λ,∴P在∠BAC的平分线上,故点P的轨迹一定通过△ABC的内心.12.答案解析因为++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式可知,==.13.答案解析由题意易得AD=1,CD=,所以=2,因为点E在线段CD上,所以设=λ(0≤λ≤1),当λ=0时,点E与点D重合,此时=,则μ=0;当0<λ≤1时,=+μ=+2μ=+,又因为=+,所以=1,即μ=λ,所以0<μ≤.综上,0≤μ≤.14.答案2解析连接AO,∵O是BC的中点,∴=(+).又∵=m,=n,∴=+.∵M、O、N三点共线,∴+=1.∴m+n=2.15.解析∵=-=-a,=-=-b,3+4+5=0,∴3+4(-a)+5(-b)=0,∴=a+b.设=t(t∈R),则=ta+tb.①又设=k(k∈R),由=-=b-a,得=k(b-a).而=+=a+.∴=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②由①②得解得t=.代入①得=a+b.∴=a+b,=a+b.16.解析(1)由已知可得=(+)=(a+b).==·(a+b)=(a+b),==b,=-=(a+b)-a=b-a,=-=b-a.(2)证明:由=b-a,=b-a,得=,又,有公共点B,故B,E,F三点共线.
