第79练离散型随机变量的均值与方差训练目标熟练掌握随机变量的均值与方差的求法．训练题型(1)求随机变量的均值；(2)求随机变量的方差；(3)统计知识与均值、方差的综合应用．解题策略(1)熟练掌握均值、方差的计算公式及其性质；(2)此类问题的关键是分析概率模型，正确求出概率.1.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列，均值和方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．2．(2016·威海模拟)三人参加某娱乐闯关节目，假设甲闯关成功的概率是，乙、丙两人同时闯关成功的概率是，甲、丙两人同时闯关失败的概率是，且三人各自能否闯关成功相互独立．(1)求乙、丙两人各自闯关成功的概率；(2)设ξ表示三人中最终闯关成功的人数，求ξ的分布列和均值．3.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其实验数据统计如下：方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ)．4．(2016·郑州模拟)某市公安局为加强安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.对阵队员A队队员胜A队队员负A1对B1A2对B2A3对B3(1)求A队最后所得总分为1的概率；(2)求ξ的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．答案精析1．解(1)ξ的分布列为ξ01234P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，D(ξ)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.(2)由题意可知D(η)＝a2D(ξ)＝a2×＝11，∴a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，∴当a＝2时，1＝2×＋b，得b＝－2；当a＝－2时，1＝－2×＋b，得b＝4.∴或2．解(1)记甲，乙，丙各自闯关成功的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，且满足解得P(A2)＝，P(A3)＝.所以乙、丙各自闯关成功的概率分别为，.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝＝××＝＝，P(ξ＝1)＝＋＋＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，P(ξ＝3)＝××＝＝.所以随机变量ξ的分布列为ξ0123P所以随机变量ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.3．解(1)由人工降雨模拟实验的统计数据，用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：方式实施地点大雨中雨小雨A甲P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝B乙P(B1)＝P(B2)＝P(B3)＝C丙P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E，则P(E)＝P(A2)P(B2)P(C2)＝××＝.(2)设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p1、p2、p3，则p1＝P(A2)＝，p2＝P(B1)＝，p3＝P(C2)＋P(C3)＝，ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝××＝；P(ξ＝1)＝p1(1－p2)(1－p3)＋(1－p1)p2(1－p3)＋(1－p1)(1－p2)p3＝××＋××＋××＝；P(ξ＝2)＝p1p2(1－p3)＋(1－p1)p2p3＋p1(1－p2)p3＝××＋××＋××＝；P(ξ＝3)＝p1p2p3＝××＝.所以随机变量ξ的分布列为ξ0123PE(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.4．解(1)记“A队最后所得总分为1”为事件A0，∴P(A0)＝××＋××＋××＝.(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0，P(ξ＝3)＝××＝＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝0)＝××＝＝，∴ξ的分布列为ξ0123PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.∵ξ＋η＝3，∴E(η)＝－E(ξ)＋3＝.由于E(η)>E(ξ)，故B队的实力较强．
