第37练等比数列训练目标(1)等比数列的概念；(2)等比数列的通项公式和前n项和公式；(3)等比数列的性质．训练题型(1)等比数列基本量的运算；(2)等比数列性质的应用；(3)等比数列前n项和及其应用．解题策略(1)等比数列的五个量a1，n，q，an，Sn中知三求二；(2)等比数列前n项和公式要分q＝1和q≠1讨论；(3)等比数列中的项不能含0，在解题中不能忽略.一、选择题1．(2016·肇庆二统)在等比数列{an}中，已知a6a13＝，则a6a7a8a9a10a11a12a13等于()A．4B．2C．2D.2．(2016·北京昌平区期末)在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2016·安庆一模)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于()A．7B．5C．－5D．－74．等比数列{an}中，a3＝1，q>0，满足2an＋2－an＋1＝6an，则S5的值为()A．31B．121C.D.5．(2016·河北衡水中学四调)在正数组成的等比数列{an}中，若a1a20＝100，则a7＋a14的最小值为()A．20B．25C．50D．不存在6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2015等于()A．22015－1B．21009－3C．3×21007－3D．21008－37．已知{an}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n－1}是等比数列；②{an＋an＋1}是等比数列；③{an·an＋1}是等比数列；④{lg|an|}是等比数列．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．48．(2016·邯郸模拟)已知函数y＝的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是()A.B.C.D.二、填空题9．(2016·聊城期中)在等比数列{an}中，a1＝9，a5＝4，则a3＝________.10．(2016·衡阳期中)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.11．(2016·南平期中)已知等比数列{an}中，a1＋a6＝33，a2a5＝32，公比q>1，则S5＝________.12．(2017·兰州调研)已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a8＋a7的最小值为______.答案精析1．A[由等比数列的性质可得a6a13＝a7a12＝a8a11＝a9a10＝，a6a7a8a9a10a11a12a13＝()4＝4，故选A.]2．A[在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，则a2＝±4，故不成立，所以“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．]3．D[由a4＋a7＝2且a5a6＝－8可得a5a6＝a4a7＝－8⇒a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.当a4＝4，a7＝－2时，q3＝＝－，此时a1＝＝－8，a10＝a7q3＝－2×＝1，∴a1＋a10＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，q3＝＝－2，此时a1＝＝1，a10＝a7q3＝4×(－2)＝－8，∴a1＋a10＝－7.]4．C[∵等比数列{an}中，a3＝1，q>0，∴a1q2＝1，∵2an＋2－an＋1＝6an，令n＝1，则2a3－a2＝6a1，可得2q2－q－6＝0，解得q＝2，q＝－(舍去)，∵a1q2＝1，∴a1＝，∴S5＝＝，故选C.]5．A[∵{an}为正数组成的等比数列，a1a20＝100，∴a1a20＝a7a14＝100，∴a7＋a14≥2＝2＝20，当且仅当a7＝a14时，a7＋a14取最小值20.故选A.]6．B[设a1＝1，an＋1·an＝2n，∴a2＝2，∴当n≥2时，an·an－1＝2n－1，∴＝＝2，∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2015＝＋＝21009－3，故选B.]7．C[由{an}是等比数列可得＝q(q是定值)，＝q3是定值，故①正确；＝q是定值，故②正确；＝q2是定值，故③正确；不一定为常数，故④错误，故选C.]8．B[由题可知数列各项均为正数，不妨设等比数列为递增数列，则首项的最小值为半圆(x－5)2＋y2＝16(y≥0)上的点到原点的最小距离，易知最小距离为圆心到原点的距离减半径，即(a1)min＝5－4＝1，同理第三项的最大值为(a3)max＝5＋4＝9，故等比数列的公比最大满足q＝＝9，∴qmax＝3<，因此只有B项不满足条件，故选B.]9．6解析因为在等比数列{an}中，a1＝9，a5＝4，又a3>0，所以a3＝＝6.10．5解析log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2a1a2a3a4a5＝log2a＝5log2a3.又正项等比数列{an}中，a1a5＝4，所以a3＝2.故5log2a3＝5log22＝5.11．31解析∵a1＋a6＝33，a2a5＝32，公比q>1，∴解得a1＝1，q＝2，则S5＝＝31.12．54解析设等比数列{an}的公比为q，由2a4＋a3－2a2－a1＝8，得(2a2＋a1)·q2－(2a2＋a1)＝8，∴(2a2＋a1)(q2－1)＝8，显然q2>1,2a8＋a7＝(2a2＋a1)q6＝，令t＝q2，则2a8＋a7＝，设函数f(t)＝(t>1)，f′(t)＝，易知当t∈时，f(t)为减函数，当t∈时，f(t)为增函数，∴f(t)的最小值为f＝54，故2a8＋a7的最小值为54.
