第31练三角函数综合练训练目标(1)三角函数图象、性质的应用；(2)三角函数与解三角形的综合．训练题型(1)讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象、性质；(2)三角变换和三角函数的结合；(3)三角函数与解三角形．解题策略(1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或复合函数；(2)解题中贯穿整体代换、数形结合思想；(3)三角函数和解三角形的综合问题，一定要结合正弦、余弦定理，利用三角形中的边角关系.一、选择题1．若tanα＝2tan，则等于()A．1B．2C．3D．42．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α等于()A.B.C．－D．－3.已知A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为，则ω，φ的值为()A．ω＝2，φ＝B．ω＝2，φ＝C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝4．在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形5．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5二、填空题6．已知扇形的周长为4cm，当它的半径为________cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm2.7．当x∈时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．8．若cosα＝，cos(α＋β)＝－，α∈，α＋β∈，则β＝________.9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚s．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH＝________m．(声音在空气中的传播速度为340m/s)三、解答题10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA－sinC(cosB＋sinB)＝0.(1)求角C的大小；(2)若c＝2，且△ABC的面积为，求a，b的值．答案精析1．C[＝＝＝＝＝＝3.]2．C[∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.用降幂公式化简得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.故选C.]3．A[因为A，B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为，所以T＝4×＝π，所以ω＝2.因为A，所以0＝sin，所以－＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为0<φ<，所以φ＝.故选A.]4．B[由正弦定理，得2sinAcosB＝sinC.在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，整理得sinAcosB＝cosAsinB，∴tanA＝tanB.又∵A，B∈(0，π)，∴A＝B.∵sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，∴sinAsinB＝sin2＋，∴sinAsinB＝，∴sinAsinB＝.∵A＝B，∴sinA＝sinB＝.∵A，B∈(0，π)，∴A＝B＝.∵A＋B＋C＝π，∴C＝，∴△ABC是等腰直角三角形．]5．B[因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]6．121解析设扇形的圆心角为α，半径为rcm，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2，∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.7.2解析∵x∈，∴sinx∈.又∵y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝22＋，∴当sinx＝时，ymin＝；当sinx＝－或sinx＝1时，ymax＝2.8.解析∵cosα＝，α∈，∴sinα＝.又∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈，∴sin(α＋β)＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝.又∵α∈，α＋β∈，∴β∈(0，π)，∴β＝.9．140解析由题意，设AC＝xm，则BC＝x－×340＝(x－40)m．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420m，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以CH＝AC·tan∠CAH＝140(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH为140m.10．解(1)由题意得，∵A＋B＋C＝π，∴sinA＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)，∴sinBcosC＋sinCcosB－sinCcosB－sinBsinC＝0，即sinB(cosC－sinC)＝0，∵0
