高三数学空间几何体的结构特征训练题例1：把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面半径之比为l:4母线长为12cm，求圆锥的母线长．解：作出圆锥的轴截面如图7一1所示，设圆锥的母线长为SA＝ycm，圆台的上底半径为xcm，则圆台的下底半径为利用平行线截线段成比例，则即解得y＝16。故圆锥母线长为16cm说明：因为圆柱、圆锥圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．例2：已知正三棱台上底面边长为3，下底面边长为6，侧棱长为2。（1）求这个正三棱台的高；（2）求这个正三棱台的斜高。解：（1）如图7-2，设正三棱台ABC－A1BlCl上、下底面的中心分别为、O，连交于E，连BO交AC于F，连。在直角梯形中，过作于G。在Rt△BGB1中，B1B=2，BG=BO一GO=BO一B1O1所以故这个正三棱台的高为1（2）在直角梯形EFOO1中，过E作于H在中所以。故这个正三棱台的斜高为。用心爱心专心说明：在处理正棱锥与正棱台中的有关证明或计算时，要将其高、斜高、侧棱等在合适的平面图形中联系起来．如图7－3所示的正三棱锥P－ABC中有Rt△POA，Rt△POM，Rt△OMB，Rt△PMB等；如图7－4所示的正四棱台中有直角梯形，直角梯形，直角梯形，Rt△OBE，Rt△O1B1F等．例3：如图7－5所示，圆台的上、下底面半径分别为5cm、10cm，母线长AB=20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A．求：（1）绳子的最短长度；（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．解：（1）如图7－6所示将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的距离．设圆台侧面展开图的扇形圆心角为则由得解得：所以OA＝40，OM＝30，所以AM50cm，即绳子的最短长度为50cm.。（2）作于Q，交弧BB’于P，则PQ为所求最短距离．因为，所以24cm.故PQ＝24－20＝4cm，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm。说明：圆锥、圆台侧面展开图首先要求出圆心角，“还台为锥”是解决台体问题的常用方法，“以曲化直”是求表面上两点最短距离的主要方法。三、基础训练1、如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的母线长是A、1B、C、D、22．已知正四棱台的上、下底边长分别为2、4，高为2，则其斜高为用心爱心专心A、B、C、D、3．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的半径为A、2B、C、1D、4．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是A、B、C、6D、5．圆台上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则这个圆台的高为___________；母线与下底面半径的夹角大小为___________6．正方体的棱长是a，它的顶点都在同一个球面上，这个球的半径是__________7．已知正四棱锥的底面边长为12，平行于底面的一个截面的边长为8，底面和这个截面的距离是12，求这个正四棱锥的高。8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，求这个球的半径。四、综合提高9．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则斜高为A、B、C、D、310．如果棱台的两底面面积分别是，那么这个棱台的中截面的面积是S。＝__________11．圆台的两底面面积分别为1和49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面所分成的两线段的比．12．如图7－7所示，在正三棱柱中，AB＝3，，M为的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC和NC的长。用心爱心专心7.1空间几何体的结构特征（参考答案）1.（C）．根据直角三角形的勾股定理可求．2.（A）．利用正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成的直角梯形求解．3.（B）．因截面圆面积为，故截面圆半径r＝1，故球的半径为4.（D）．根据三个面的面积可以求出共一顶点的三条棱长分别为1，，，所以长方体的对角线长为5．；利用圆台的上、下底面半径，高，母线所构成的直角梯形求解．6.。根据轴截面图可知，球的直径就是正方体的对角线长，即，得．7．设正四棱锥的高为h，依题意有，解得h＝36。8．作边长为2的正方体，再作其外接球，四个点P，A，B，C正好为正方体中以P为顶点的周围四个顶点．此时，球的直径等于正方...
